Fonction de transfert: pôles, zéros, gain statique, stabilité

Fonction de transfert: pôles, zéros, gain statique, stabilité

Formules à savoir

Pour comprendre la Fonction de transfert: pôles, zéros, gain statique, stabilité, il est crucial de connaître les concepts et formules suivants :

• Fonction de transfert \(H(s)\): Exprime la relation entre la sortie \(Y(s)\) et l’entrée \(X(s)\) dans le domaine de Laplace, où \(s\) est la variable complexe \(s = \sigma + j\omega\). \(H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}\).
• Pôles: Les valeurs de \(s\) pour lesquelles \(H(s)\) tend vers l’infini. Ils influencent la réponse transitoire et la stabilité.
• Zéros: Les valeurs de \(s\) pour lesquelles \(H(s)\) est égal à zéro.
• Gain Statique \(K\): La valeur de \(H(s)\) lorsque \(s\) tend vers zéro (fréquence nulle). \(K = \lim_{s \to 0} H(s)\).
• Stabilité: Un système est dit stable si, pour une entrée bornée, la sortie reste également bornée. Dans le domaine de Laplace, cela se traduit par des pôles situés dans le demi-plan gauche. Les pôles doivent avoir une partie réelle négative pour que le système soit stable.

Exemples sur la Fonction de transfert: pôles, zéros, gain statique, stabilité

Illustrons ces concepts avec des exemples de circuits.

Exemple 1 : Circuit RC. Considérons un circuit RC simple avec une résistance \(R\) et un condensateur \(C\), la tension d’entrée étant appliquée et la tension de sortie prise aux bornes du condensateur. On cherche à déterminer la fonction de transfert et analyser la stabilité.

Solution: La fonction de transfert est \(H(s) = \frac{1}{1 + sRC}\). Le pôle est \(s = -\frac{1}{RC}\). Puisque le pôle a une partie réelle négative, le système est stable. Il n’y a pas de zéro dans ce cas. Le gain statique \(K\) est égal à 1. Le circuit est stable car le pôle se situe dans le demi-plan gauche.

Exemple 2 : Amplificateur opérationnel (AO) inverseur. Un amplificateur opérationnel inverseur utilise deux résistances, \(R_1\) et \(R_2\), pour amplifier un signal. Comment analyser la fonction de transfert de cet amplificateur ?

Solution: En régime idéal, la fonction de transfert est \(H(s) = -\frac{R_2}{R_1}\). Il n’y a ni pôles ni zéros, car ce circuit est en boucle fermée, par contre on remarque la présence du signe moins qui inverse le signal et représente une amplification. Le gain statique est \(K = -\frac{R_2}{R_1}\). La stabilité dépend des caractéristiques de l’AO utilisé. Si l’AO est idéal et le gain infini, la stabilité n’est pas directement déduite de la fonction de transfert, mais est assurée en boucle fermée. Dans un modèle réel, l’AO aura des pôles propres qu’il faudra considérer pour analyser la stabilité.

Exemple 3 : Système de contrôle en boucle ouverte. Considérons un système de contrôle en boucle ouverte dont la fonction de transfert est donnée par \(H(s) = \frac{K}{s(s+a)}\), où \(K\) est le gain et \(a\) est une constante positive. L’analyse des pôles permet de déduire la stabilité.

Solution: La fonction de transfert présente deux pôles : un pôle en \(s = 0\) et un autre en \(s = -a\). Puisque l’un des pôles se situe en 0 et l’autre dans le demi-plan gauche, le système en boucle ouverte est marginalement stable. Il n’est pas stable car une entrée constante produira une sortie qui continue de croître. Ce système illustre l’importance de la position des pôles pour déterminer la stabilité. Pour assurer la stabilité, il est impératif d’avoir tous les pôles dans le demi-plan gauche du plan complexe.