Sauf indication contraire, \(a\) et \(b\) désignent deux réels tels que \(a < b\).
Fonction en escalier
DÉFINITION : On appelle subdivision de l’intervalle \([a, b]\) toute famille finie \((x_i)_{i \in \{0, \ldots, n\}}\) de réels vérifiant les conditions suivantes :
- pour tout \(i \in \{0, \ldots, n\}\), \(x_i \in [a, b]\);
- \(x_0 = a\) et \(x_n = b\);
- pour tout \(i \in \{1, \ldots, n\}\), \(x_{i-1} < x_i\).
Remarques
- Une subdivision \(\sigma = (x_i)_{i \in \{0, \ldots, n\}}\) de l’intervalle \([a, b]\) comprend \(n + 1\) points (appelés neuds de la subdivision) et détermine \(n\) intervalles non vides \([x_{i-1}, x_i]\). Le réel \(h = \max_{i \in \{1, \ldots, n\}} (x_i – x_{i-1})\) est appelé le pas de la subdivision.
- On dit que la subdivision \(\sigma = (x_i)_{i \in \{0, \ldots, n\}}\) de l’intervalle \([a, b]\) est plus fine que la subdivision \(\sigma’ = (x’_i)_{i \in \{0, \ldots, m\}}\) si \(\{x’_i \mid i = 0, \ldots, m\} \subset \{x_i \mid i = 0, \ldots, n\}\).
Exemple
La famille \((x_i)_{i \in \{0, \ldots, n\}}\) où \(x_i = a + \frac{i}{n}(b – a)\) définit une subdivision de l’intervalle \([a, b]\) de pas \(h = \frac{1}{n}(b – a)\) appelée subdivision uniforme de l’intervalle \([a, b]\). La famille \((x’_i)_{i \in \{0, \ldots, 2n\}}\) où \(x’_i = a + \frac{i}{2n}(b – a)\) définit une subdivision de l’intervalle \([a, b]\), de pas \(h’ = \frac{1}{2}h\), plus fine que la subdivision \((x_i)_{i \in \{0, \ldots, n\}}\).
DÉFINITION : Soit \(f\) une application définie sur l’intervalle \([a, b]\).
- L’application \(f\) est qualifiée de fonction en escalier sur l’intervalle \([a, b]\) s’il existe une subdivision \(\sigma = (x_i)_{i \in \{0, \ldots, n\}}\) de l’intervalle \([a, b]\) telle que \(f\) soit constante sur chaque intervalle \([x_{i-1}, x_i[\), \(i \in \{1, \ldots, n\}\).
- Une subdivision \(\sigma’ = (x’_i)_{i \in \{0, \ldots, n\}}\) de l’intervalle \([a, b]\) est dite adaptée à la fonction en escalier \(f\) si \(f\) est constante sur chaque intervalle \([x’_{i-1}, x’_i[\), \(i \in \{1, \ldots, n\}\).
Remarques
- L’image d’une fonction en escalier sur \([a, b]\) est un ensemble fini (une fonction en escalier ne prend qu’un nombre fini de valeurs). Une fonction en escalier est donc bornée et ne possède qu’un nombre fini de points de discontinuité.
- L’ensemble \(\mathcal{E}([a, b], \mathbb{R})\) des fonctions en escalier sur l’intervalle \([a, b]\) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel \(\mathcal{A}([a, b], \mathbb{R})\) des applications définies sur l’intervalle \([a, b]\).
Exemple
La fonction partie entière \(E\) est une fonction en escalier. Sur l’intervalle \([-2, 2]\), la subdivision \(\sigma_1 = (-2, -1, 0, 1, 2)\) est une subdivision uniforme adaptée à la fonction partie entière. La subdivision \(\sigma_2 = (-2, -\frac{3}{2}, -1, -\frac{1}{4}, 0, 1, \frac{7}{4}, 2)\) est également une subdivision adaptée. La subdivision \(\sigma_2\) est plus fine que la subdivision \(\sigma_1\). Par contre, la subdivision \(\sigma_3 = (-2, -\frac{3}{2}, -1, 1, 2)\) n’est pas une subdivision adaptée à la fonction partie entière.