Fonction exponentielle (exp x)
La fonction exponentielle, notée \( \exp(x) \) ou \( e^x \), est une fonction mathématique fondamentale définie pour tout nombre réel \( x \). Elle est caractérisée par sa propriété unique : sa dérivée est égale à elle-même. Formellement :
\[ \frac{d}{dx} \exp(x) = \exp(x) \]Propriétés importantes de la fonction exponentielle :
- Elle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).
- Elle vérifie \( \exp(0) = 1 \) et \( \exp(1) = e \), où \( e \approx 2.71828 \) est la base des logarithmes naturels.
- Elle satisfait la propriété fonctionnelle \( \exp(a + b) = \exp(a) \cdot \exp(b) \) pour tout \( a, b \in \mathbb{R} \).
- Elle est utilisée dans de nombreux domaines, tels que la physique, l’économie, la biologie et les sciences de l’ingénieur.
Exemples sur Fonction exponentielle (exp x)
Exemple 1 : Valeur de \( \exp(x) \) pour \( x = 0 \)
Considérons \( x = 0 \). La valeur de \( \exp(x) \) est :
\[ \exp(0) = 1 \]En effet, par définition, la fonction exponentielle vérifie \( \exp(0) = 1 \).
Exemple 2 : Valeur de \( \exp(x) \) pour \( x = 1 \)
Considérons \( x = 1 \). La valeur de \( \exp(x) \) est :
\[ \exp(1) = e \approx 2.71828 \]En effet, \( e \) est la base des logarithmes naturels, et \( \exp(1) = e \).
Exemple 3 : Valeur de \( \exp(x) \) pour \( x = -1 \)
Considérons \( x = -1 \). La valeur de \( \exp(x) \) est :
\[ \exp(-1) = \frac{1}{e} \approx 0.36788 \]En effet, la fonction exponentielle vérifie \( \exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)} \).