Fonction strictement croissante/décroissante
Une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) est dite :
- Strictement croissante si pour tout \(x_1, x_2 \in I\), \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)
- Strictement décroissante si pour tout \(x_1, x_2 \in I\), \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)
Propriétés importantes :
- Une fonction strictement monotone est bijective sur son intervalle de définition
- La dérivée \(f'(x)\) est strictement positive pour une fonction strictement croissante
- La dérivée \(f'(x)\) est strictement négative pour une fonction strictement décroissante
Exemples sur Fonction strictement croissante/décroissante
Exemple 1 : Fonction exponentielle
La fonction \(f(x) = e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) car :
- \(f'(x) = e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
- Pour tout \(x_1 < x_2\), on a \(e^{x_1} < e^{x_2}\)
Exemple 2 : Fonction logarithme naturel
La fonction \(f(x) = \ln(x)\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\) car :
- \(f'(x) = \frac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\)
- Pour tout \(0 < x_1 < x_2\), on a \(\ln(x_1) < \ln(x_2)\)
Exemple 3 : Fonction inverse
La fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\) car :
- \(f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0\) pour tout \(x > 0\)
- Pour tout \(0 < x_1 < x_2\), on a \(\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}\)