Fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue, notée \(|x|\), est une fonction mathématique qui associe à tout nombre réel \(x\) sa distance à zéro sur la droite réelle. Elle est définie par :
\[|x| = \begin{cases}
x & \text{si } x \geq 0 \\
-x & \text{si } x < 0
\end{cases}\]
Propriétés importantes :
- \(|x| \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
- \(|xy| = |x||y|\) pour tout \(x,y \in \mathbb{R}\)
- \(|x+y| \leq |x| + |y|\) (inégalité triangulaire)
- \(|-x| = |x|\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
Exemples sur la fonction valeur absolue
Exemple 1 : Résolution d’équation
Résoudre l’équation \(|2x-1| = 3\)
- Méthode : \(|2x-1| = 3\) équivaut à \(2x-1 = 3\) ou \(2x-1 = -3\)
- Donc : \(2x = 4\) ou \(2x = -2\)
- Solutions : \(x = 2\) ou \(x = -1\)
Exemple 2 : Inégalité avec valeur absolue
Résoudre \(|x+2| < 3\)
- Méthode : \(-3 < x+2 < 3\)
- Donc : \(-5 < x < 1\)
Exemple 3 : Application géométrique
Soit \(M(x,y)\) un point du plan. La distance de \(M\) à l’axe des ordonnées est donnée par \(|x|\).
- Pour \(M(3,2)\), la distance est \(|3| = 3\)
- Pour \(M(-4,1)\), la distance est \(|-4| = 4\)