Fonctions hyperboliques et liens avec la trigonométrie
Les fonctions hyperboliques sont des fonctions mathématiques qui jouent un rôle crucial en analyse complexe et en physique. Elles sont étroitement liées aux fonctions trigonométriques classiques, bien qu’elles soient définies en termes d’exponentielles. Ces fonctions incluent le sinus hyperbolique (\(\sinh\)), le cosinus hyperbolique (\(\cosh\)), et la tangente hyperbolique (\(\tanh\)).
Définitions et Propriétés
Définition : Les fonctions hyperboliques sont définies comme suit :
\[ \sinh(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{2} \] \[ \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \] \[ \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \]Propriétés :
- \(\cosh(x)\) est toujours supérieur ou égal à 1.
- \(\sinh(x)\) est impair, c’est-à-dire \(\sinh(-x) = -\sinh(x)\).
- \(\cosh(x)\) est pair, c’est-à-dire \(\cosh(-x) = \cosh(x)\).
- Les fonctions hyperboliques satisfaisent l’identité fondamentale :
Exemples sur les Fonctions hyperboliques et liens avec la trigonométrie
Exemple 1 : Calculons \(\sinh(1)\) et \(\cosh(1)\) :
\[ \sinh(1) = \frac{e^1 – e^{-1}}{2} = \frac{e – \frac{1}{e}}{2} \] \[ \cosh(1) = \frac{e^1 + e^{-1}}{2} = \frac{e + \frac{1}{e}}{2} \]En utilisant ces valeurs, vérifions l’identité fondamentale :
\[ \cosh^2(1) – \sinh^2(1) = \left(\frac{e + \frac{1}{e}}{2}\right)^2 – \left(\frac{e – \frac{1}{e}}{2}\right)^2 = 1 \]Exemple 2 : Trouvons \(\tanh(2)\) :
\[ \tanh(2) = \frac{\sinh(2)}{\cosh(2)} = \frac{\frac{e^2 – e^{-2}}{2}}{\frac{e^2 + e^{-2}}{2}} = \frac{e^2 – \frac{1}{e^2}}{e^2 + \frac{1}{e^2}} \]Cette expression montre comment la tangente hyperbolique peut être simplifiée en termes d’exponentielles.
Exemple 3 : Comparons \(\sinh(x)\) et \(\sin(x)\) pour \(x = \frac{\pi}{2}\) :
\[ \sinh\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} – e^{-\frac{\pi}{2}}}{2} \]Tandis que \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\). Bien que les fonctions \(\sinh\) et \(\sin\) partagent certaines similarités dans leurs noms et certaines propriétés, leurs valeurs peuvent différer considérablement, surtout pour des arguments non petits.
Ces exemples illustrent les liens entre les fonctions hyperboliques et la trigonométrie, en montrant comment les fonctions hyperboliques peuvent être calculées et vérifiées à l’aide de leurs définitions exponentielles.