Dans cette étude approfondie, nous allons explorer les Forces de tension : Ressort et Lame de ressort, un concept fondamental en physique, particulièrement pertinent au niveau universitaire. Ces forces jouent un rôle crucial dans de nombreux systèmes physiques, et leur compréhension est essentielle pour analyser une vaste gamme de phénomènes.
Forces de tension : Ressort et Lame de ressort
La force de tension est une force de contact qui apparaît lorsqu’un objet est étiré ou comprimé. Dans le cas d’un ressort ou d’une lame de ressort, cette force suit la loi de Hooke (dans la limite élastique) :
\( F = -kx \)
où:
- \( F \) est la force de rappel exercée par le ressort (en Newtons, N).
- \( k \) est la constante de raideur du ressort (en N/m). Cette constante caractérise la « rigidité » du ressort. Plus \(k\) est grand, plus le ressort est difficile à étirer ou à comprimer.
- \( x \) est le déplacement du ressort par rapport à sa position d’équilibre (en mètres, m). \(x\) est positif si le ressort est étiré et négatif si le ressort est comprimé.
Le signe négatif indique que la force de rappel est toujours opposée au déplacement. Si le ressort est étiré (\(x\) positif), la force de rappel est dirigée vers la position d’équilibre (force de rappel négative). Si le ressort est comprimé (\(x\) négatif), la force de rappel est également dirigée vers la position d’équilibre (force de rappel positive).
Pour une lame de ressort, l’analyse est plus complexe, mais le principe reste similaire. La force de rappel dépend de la géométrie de la lame, de son matériau (module d’Young, \(E\)), et de la manière dont elle est fixée et sollicitée. Pour une lame encastrée-libre (cantilever beam) soumise à une force \(P\) à son extrémité libre, la flèche \(\delta\) (déplacement vertical) est donnée par :
\( \delta = \frac{PL^3}{3EI} \)
où :
- \(\delta\) est le déplacement vertical (flèche) de l’extrémité libre de la lame.
- \(P\) est la force appliquée à l’extrémité libre.
- \(L\) est la longueur de la lame.
- \(E\) est le module d’Young du matériau de la lame.
- \(I\) est le moment quadratique de la section de la lame (qui dépend de sa géométrie). Par exemple, pour une section rectangulaire de largeur \(b\) et de hauteur \(h\), \( I = \frac{bh^3}{12} \).
La force de rappel, dans ce cas, est \(F = -P\), et est proportionnelle au déplacement, comme dans le cas du ressort simple, mais la constante de proportionnalité est ici \(\frac{3EI}{L^3}\).
Exemples sur Forces de tension : Ressort et Lame de ressort
Exemple 1 : Système masse-ressort
Un bloc de masse \(m = 2.0 \ kg\) est attaché à un ressort de constante de raideur \(k = 500 \ N/m\) sur une surface horizontale sans frottement. Le ressort est initialement comprimé de \(x_0 = -0.10 \ m\). Le bloc est ensuite relâché.
Question : Quelle est la vitesse maximale du bloc ?
Solution :
L’énergie potentielle élastique initiale du ressort est convertie en énergie cinétique du bloc. La vitesse maximale est atteinte lorsque toute l’énergie potentielle est convertie en énergie cinétique (au point d’équilibre du ressort, x=0).
Énergie potentielle élastique initiale : \( E_{pe} = \frac{1}{2}kx_0^2 \)
Énergie cinétique maximale : \( E_{c} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 \)
Conservation de l’énergie : \( E_{pe} = E_{c} \)
\( \frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}mv_{max}^2 \)
On isole \(v_{max}\):
\( v_{max} = \sqrt{\frac{k}{m}} |x_0| = \sqrt{\frac{500 \ N/m}{2.0 \ kg}} \times 0.10 \ m = 1.58 \ m/s \)
Exemple 2 : Flèche d’une lame de ressort
Une lame de ressort en acier (E = 200 GPa) encastrée-libre a une longueur L = 10 cm, une largeur b = 2 cm et une hauteur h = 1 mm. Une force P = 10 N est appliquée à l’extrémité libre.
Question: Quelle est la flèche \(\delta\) de la lame ?
Solution:
D’abord, calculons le moment quadratique I : \( I = \frac{bh^3}{12} = \frac{(0.02 \ m)(0.001 \ m)^3}{12} = 1.67 \times 10^{-12} \ m^4 \)
Ensuite, utilisons la formule de la flèche : \( \delta = \frac{PL^3}{3EI} = \frac{(10 \ N)(0.10 \ m)^3}{3(200 \times 10^9 \ Pa)(1.67 \times 10^{-12} \ m^4)} = 0.01 \ m = 10 \ mm \)