L’une des représentations fondamentales des nombres complexes, au-delà de leur forme algébrique, est la forme trigonométrique ou forme exponentielle, qui se révèle particulièrement utile dans divers domaines des mathématiques et de la physique.
Forme trigonométrique ou forme exponentielle
Tout nombre complexe $z \neq 0$ peut être exprimé sous forme trigonométrique, mettant en évidence son module et son argument. Soit $z = x + iy$ un nombre complexe non nul, où $x$ et $y$ sont des nombres réels. Son module est défini par $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ et son argument $\theta$ est un angle tel que $x = r \cos \theta$ et $y = r \sin \theta$. La forme trigonométrique de $z$ s’écrit alors :
\( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \)
L’argument $\theta$ est défini à $2\pi$ près. On appelle argument principal l’unique argument appartenant à l’intervalle $]-\pi, \pi]$.
La forme exponentielle découle directement de la forme trigonométrique en utilisant la formule d’Euler, qui stipule que $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$. Ainsi, la forme exponentielle de $z$ est :
\( z = re^{i\theta} \)
où $r = |z|$ est le module de $z$ et $\theta = \arg(z)$ est un argument de $z$. L’avantage majeur de la forme exponentielle réside dans sa simplicité pour les opérations de multiplication et de division de nombres complexes, ainsi que pour l’élévation à une puissance entière ou complexe.
Pour convertir un nombre complexe de la forme algébrique $z = x + iy$ à la forme trigonométrique ou exponentielle, on calcule d’abord le module $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. Ensuite, on détermine un argument $\theta$ en résolvant le système :
\( \cos \theta = \frac{x}{r}, \quad \sin \theta = \frac{y}{r} \)
La détermination précise de $\theta$ dépend des signes de $x$ et $y$ pour choisir le quadrant approprié dans le plan complexe.
Exemples sur Forme trigonométrique ou forme exponentielle
Illustrons la conversion à la forme trigonométrique et exponentielle et inversement, avec des exemples détaillés.
Exemple 1: Conversion de la forme algébrique à la forme exponentielle
Exprimons le nombre complexe $z = -1 + i$ sous forme exponentielle.
Solution détaillée:
Premièrement, calculons le module de $z$ :
\( r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
Deuxièmement, trouvons un argument $\theta$. Nous avons :
\( \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
L’angle $\theta$ dans l’intervalle $]-\pi, \pi]$ qui satisfait ces conditions est $\theta = \frac{3\pi}{4}$. Par conséquent, la forme exponentielle de $z$ est :
\( z = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}} \)
Et sa forme trigonométrique est :
\( z = \sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right) \)
Exemple 2: Conversion de la forme exponentielle à la forme algébrique et représentation graphique
Soit $z = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$. Déterminons la forme algébrique de $z$ et représentons le graphiquement dans le plan complexe en utilisant un canvas HTML5.
Solution détaillée:
Pour obtenir la forme algébrique, nous utilisons la formule d’Euler : $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$. Donc :
\( z = 2e^{-i\frac{\pi}{3}} = 2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \)
Nous savons que $\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ et $\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Par conséquent :
\( z = 2\left(\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 – i\sqrt{3} \)
La forme algébrique de $z$ est $1 – i\sqrt{3}$. Pour la représentation graphique, nous allons utiliser un canvas. Le point correspondant à $z$ aura pour coordonnées $(1, -\sqrt{3})$.