Formule de Newton-Leibniz
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur cet intervalle. La formule de Newton-Leibniz s’énonce comme suit :
\[ \int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a) = [F(x)]_a^b \]
Points essentiels :
- La fonction \(f\) doit être continue sur \([a,b]\)
- La fonction \(F\) est une primitive quelconque de \(f\)
- Le résultat est indépendant du choix de la primitive
Exemples sur la Formule de Newton-Leibniz
Exemple 1 : Calculons \(\int_0^1 x^2dx\) \[ F(x) = \frac{x^3}{3} \text{ est une primitive de } f(x) = x^2 \] \[ \int_0^1 x^2dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3} – 0 = \frac{1}{3} \] Exemple 2 : Calculons \(\int_0^{\pi} \sin(x)dx\) \[ F(x) = -\cos(x) \text{ est une primitive de } f(x) = \sin(x) \] \[ \int_0^{\pi} \sin(x)dx = [-\cos(x)]_0^{\pi} = -\cos(\pi) – (-\cos(0)) = 2 \]