Formules trigonométriques d’addition et de duplication
Les formules trigonométriques d’addition et de duplication sont des outils essentiels en trigonométrie pour simplifier et résoudre des expressions impliquant des angles. Voici les principales formules :
- Formules d’addition :
- \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \)
- \( \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b) \)
- \( \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)} \)
- Formules de duplication :
- \( \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) \)
- \( \cos(2a) = \cos^2(a) – \sin^2(a) = 2\cos^2(a) – 1 = 1 – 2\sin^2(a) \)
- \( \tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 – \tan^2(a)} \)
Exemples sur les Formules trigonométriques d’addition et de duplication
Exemple 1 : Calcul de \( \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \)
Utilisons la formule d’addition pour calculer \( \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \).
On peut écrire \( \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4} \). Ainsi :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) – \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]
En substituant les valeurs connues :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) – \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \]
Exemple 2 : Calcul de \( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \)
Utilisons la formule de duplication pour calculer \( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \).
On sait que \( \cos(2a) = 2\cos^2(a) – 1 \). Posons \( a = \frac{\pi}{8} \), alors :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) – 1 \]
En résolvant pour \( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \) :
\[ \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \]
Donc :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \]
Exemple 3 : Simplification de \( \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) \)
Utilisons la formule d’addition pour simplifier \( \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) \).
On peut écrire \( \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4} \). Ainsi :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) – \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1 + \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)} \]
En substituant les valeurs connues :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3} – 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} – 1}{1 + \sqrt{3}} \]
En rationalisant le dénominateur :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{(\sqrt{3} – 1)(1 – \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 – \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} – 1)(1 – \sqrt{3})}{1 – 3} = \frac{(\sqrt{3} – 1)(1 – \sqrt{3})}{-2} \]
En développant le numérateur :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3} – 3 – 1 + \sqrt{3}}{-2} = \frac{2\sqrt{3} – 4}{-2} = 2 – \sqrt{3} \]