Théorème de Thévenin/Norton: équivalent, source, impédance équivalente

Théorème de Thévenin/Norton: équivalent, source, impédance équivalente

Les théorèmes de Thévenin et de Norton sont des outils puissants pour simplifier l’analyse des circuits électriques et électroniques complexes. Ils permettent de remplacer une partie d’un circuit linéaire par un circuit équivalent plus simple, facilitant ainsi la compréhension et le calcul. Le théorème de Thévenin stipule qu’un circuit linéaire vu entre deux bornes peut être remplacé par une source de tension idéale en série avec une impédance équivalente. Le théorème de Norton, quant à lui, propose un circuit équivalent constitué d’une source de courant idéale en parallèle avec une impédance équivalente. Ces théorèmes sont particulièrement utiles pour déterminer le comportement d’un circuit lorsqu’il est connecté à une charge variable.

Formules à savoir

  • Théorème de Thévenin :
    • Un circuit linéaire entre deux bornes A et B peut être remplacé par une source de tension idéale \(V_{Th}\) en série avec une impédance \(Z_{Th}\).
    • \(V_{Th}\) est la tension de circuit ouvert entre les bornes A et B (lorsque la charge est déconnectée).
    • \(Z_{Th}\) est l’impédance équivalente vue entre les bornes A et B lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (les sources de tension sont remplacées par des courts-circuits et les sources de courant par des circuits ouverts).
  • Théorème de Norton :
    • Un circuit linéaire entre deux bornes A et B peut être remplacé par une source de courant idéale \(I_{No}\) en parallèle avec une impédance \(Z_{No}\).
    • \(I_{No}\) est le courant de court-circuit entre les bornes A et B (lorsque les bornes A et B sont court-circuitées).
    • \(Z_{No}\) est l’impédance équivalente vue entre les bornes A et B lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (identique à \(Z_{Th}\)).
  • Relation entre les équivalents de Thévenin et de Norton :
    • \(Z_{Th} = Z_{No} = Z_{eq}\) (l’impédance équivalente est la même dans les deux cas).
    • \(V_{Th} = I_{No} \cdot Z_{eq}\)
    • \(I_{No} = \frac{V_{Th}}{Z_{eq}}\)

Exemples sur les Théorème de Thévenin/Norton: équivalent, source, impédance équivalente

Exemple 1 : Détermination de l’équivalent de Thévenin.

Considérons un circuit avec une source de tension de 20 V en série avec une résistance de 4 \(\Omega\), et une autre résistance de 6 \(\Omega\) en série avec la première. On veut trouver l’équivalent de Thévenin entre les bornes A et B situées aux extrémités de la résistance de 6 \(\Omega\).

Calcul de \(V_{Th}\) :

On déconnecte la charge (on retire la résistance de 6 ohms). La tension entre A et B est alors la tension aux bornes de la résistance de 4 \(\Omega\) (car aucun courant ne circule dans la branche où se trouvait la résistance de 6 ohms). On utilise le diviseur de tension :

\(V_{Th} = 20 \ V \cdot \frac{4 \ \Omega}{4 \ \Omega + 0 \ \Omega} = 20 \ V\)

(Comme il n’y a pas d’autre résistance en série avec la source, la tension de circuit ouvert est égale à la tension de la source.)

Calcul de \(Z_{Th}\) :

On éteint la source de tension (on la remplace par un court-circuit). L’impédance équivalente vue entre A et B est la résistance de 4 \(\Omega\) en série (mais comme elle est court-circuité par la source de tension éteinte, elle n’a pas d’influence) avec une résistance de 0 \(\Omega\) (le court-circuit remplaçant la source). Donc:

\(Z_{Th} = 0 \ \Omega\)

L’équivalent de Thévenin est donc une source de tension de 20 V en série avec une impédance de 0 \(\Omega\) (un simple fil).

Exemple 2 : Détermination de l’équivalent de Norton.

Considérons le même circuit que dans l’exemple 1. Trouvons l’équivalent de Norton entre les bornes A et B.

Calcul de \(I_{No}\) :

On court-circuite les bornes A et B. Le courant de court-circuit \(I_{No}\) est le courant traversant la source de 20 V et la résistance de 4 \(\Omega\) (la résistance de 6 \(\Omega\) est court-circuitée) :

\(I_{No} = \frac{20 \ V}{4 \ \Omega} = 5 \ A\)

Calcul de \(Z_{No}\) :

\(Z_{No}\) est identique à \(Z_{Th}\) calculé précédemment :

\(Z_{No} = Z_{Th} = 0 \ \Omega\)

L’équivalent de Norton est donc une source de courant de 5 A en parallèle avec une impédance de 0 \(\Omega\) (un simple fil).

Exemple 3 : Conversion entre les équivalents de Thévenin et de Norton.

Supposons que l’on ait un circuit dont l’équivalent de Thévenin est une source de tension de 15 V en série avec une résistance de 3 \(\Omega\). Trouvons l’équivalent de Norton correspondant.

Calcul de \(I_{No}\) :

\(I_{No} = \frac{V_{Th}}{Z_{Th}} = \frac{15 \ V}{3 \ \Omega} = 5 \ A\)

Calcul de \(Z_{No}\) :

\(Z_{No} = Z_{Th} = 3 \ \Omega\)

L’équivalent de Norton est une source de courant de 5 A en parallèle avec une résistance de 3 \(\Omega\).