Le concept de l’Inégalité de Minkowski (Mot clé) est essentiel pour comprendre la structure des espaces à normes et leurs propriétés.
Inégalité de Minkowski
L’Inégalité de Minkowski se formule souvent de la manière suivante :
\[ \|x + y\|_p \le \|x\|_p + \|y\|_p \]
Cette propriété met en évidence que la distance dans un espace normé respectant cette inégalité est compatible avec la structure métrique. Elle joue un rôle fondamental dans l’étude des espaces \(L^p\) et intervient dans de nombreux résultats en analyse fonctionnelle.
Exemples sur Inégalité de Minkowski
Exemple 1 : Soit \(x = (2,4)\) et \(y = (1,2)\) dans \(\mathbb{R}^2\). Prenons \(p = 2\).
Nous calculons d’abord \(\|x\|_2\) et \(\|y\|_2\) :
\[ \|x\|_2 = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, \quad \|y\|_2 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}. \]
Ensuite, \(\|x + y\|_2\) :
\[ x + y = (2 + 1,\; 4 + 2) = (3,\; 6), \quad \|x + y\|_2 = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45}. \]
L’Inégalité de Minkowski prédit alors :
\[ \|x + y\|_2 \le \|x\|_2 + \|y\|_2 \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{45} \le \sqrt{20} + \sqrt{5}. \]
Une estimation numérique montre que \( \sqrt{45} \approx 6.708 \), tandis que \( \sqrt{20} + \sqrt{5} \approx 4.472 + 2.236 = 6.708 \). La relation est donc vérifiée et l’égalité est presque atteinte pour ces vecteurs particuliers.
Exemple 2 : Dans l’espace des fonctions, si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions réelles mesurables sur un intervalle donné, pour \(1 \le p < \infty\), on peut écrire la version intégrale de l’Inégalité de Minkowski en précisant que :
\[ \left(\int |f + g|^p \right)^{1/p} \le \left(\int |f|^p \right)^{1/p} + \left(\int |g|^p \right)^{1/p}. \]
Ce résultat puissant montre comment les normes s’additionnent, et il sert de base pour de nombreuses démonstrations en analyse.