Inégalité des pentes

L’inégalité des pentes est un résultat fondamental en analyse convexe et en optimisation. Elle établit une relation entre les pentes de fonctions convexes et leurs propriétés de croissance. Pour une fonction convexe \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), l’inégalité des pentes s’énonce comme suit :

Pour tout \( x_1 < x_2 < x_3 \) dans le domaine de \( f \), on a :

\[ \frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} \leq \frac{f(x_3) – f(x_1)}{x_3 – x_1} \leq \frac{f(x_3) – f(x_2)}{x_3 – x_2} \]

Cette inégalité exprime que les pentes des cordes reliant les points du graphe de \( f \) sont croissantes. Elle est une conséquence directe de la convexité de \( f \) et est utilisée pour démontrer de nombreuses propriétés des fonctions convexes.

Voici quelques applications de l’inégalité des pentes :

• Optimisation : Elle permet de démontrer la convexité des fonctions et d’établir des conditions d’optimalité.
• Analyse fonctionnelle : Elle est utilisée pour étudier la régularité et la croissance des fonctions.
• Géométrie : Elle aide à comprendre la forme des graphes de fonctions convexes.