Inégalités, valeur absolue, partie entière
Relation d’ordre sur R
La relation d’ordre sur l’ensemble des réels \( \mathbb{R} \) est définie par les symboles \( < \), \( \leq \), \( > \), et \( \geq \). Cette relation est transitive, antisymétrique et totale. Par exemple :
- Pour \( a, b, c \in \mathbb{R} \), si \( a < b \) et \( b < c \), alors \( a < c \) (transitivité).
- Si \( a < b \) et \( b < a \), alors \( a = b \) (antisymétrie).
- Pour tout \( a, b \in \mathbb{R} \), soit \( a < b \), soit \( a = b \), soit \( a > b \) (totalité).
Valeur absolue et intervalles
La valeur absolue d’un nombre réel \( x \), notée \( |x| \), est définie comme :
\[ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \quad \text{pour } x \in \mathbb{R} \]
Elle représente la distance de \( x \) à zéro sur la droite réelle. Les intervalles peuvent être définis à l’aide de la valeur absolue :
- \( |x – a| < b \) définit l'intervalle \( (a - b, a + b) \).
- \( |x – a| \leq b \) définit l’intervalle \( [a – b, a + b] \).
Inégalité triangulaire
L’inégalité triangulaire est une propriété fondamentale des nombres réels qui stipule que pour tous \( x, y \in \mathbb{R} \) :
\[ |x + y| \leq |x| + |y| \]
Cela signifie que la longueur d’un côté d’un triangle est toujours inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. Cette propriété est essentielle dans plusieurs domaines, y compris l’analyse et la géométrie.
Partie entière
La partie entière d’un nombre réel \( x \), notée \( \lfloor x \rfloor \), est le plus grand entier \( n \) tel que \( n \leq x \). Par exemple :
- \( \lfloor 3.7 \rfloor = 3 \)
- \( \lfloor -2.3 \rfloor = -3 \)
La fonction partie entière est discontinuous aux entiers, ce qui est important lors de l’analyse des fonctions.