Intégrales de fonctions exponentielles
L’intégration des fonctions exponentielles suit des règles spécifiques. La propriété fondamentale est que \[ \int e^x dx = e^x + C \]
Propriétés essentielles :
\[ \int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C \]
\[ \int e^{x^2} dx \text{ n’a pas de primitive élémentaire} \]
Techniques d’intégration :
1. Intégration directe
2. Intégration par parties : \[ \int u\,dv = uv – \int v\,du \]
3. Substitution : \[ \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du \]
Cas particuliers importants :
\[ \int xe^x dx = e^x(x-1) + C \]
\[ \int x^ne^x dx = e^x(x^n – nx^{n-1} + n(n-1)x^{n-2} – …) + C \]
Exemples sur Intégrales de fonctions exponentielles
Exemple 1 : Calculons \[ \int 3e^{2x} dx \] Solution : \[ \int 3e^{2x} dx = \frac{3}{2}e^{2x} + C \] Exemple 2 : Évaluons \[ \int xe^x dx \] Solution par parties : \[ \begin{align*} u &= x, \quad du = dx \\ dv &= e^x dx, \quad v = e^x \\ \int xe^x dx &= xe^x – \int e^x dx \\ &= xe^x – e^x + C \end{align*} \] Exemple 3 : Calculons \[ \int e^{-x}\sin(x) dx \] Solution : \[ \begin{align*} u &= \sin(x), \quad du = \cos(x)dx \\ dv &= e^{-x}dx, \quad v = -e^{-x} \\ \int e^{-x}\sin(x) dx &= -e^{-x}\sin(x) – \int (-e^{-x})\cos(x) dx \\ &= -e^{-x}\sin(x) + \int e^{-x}\cos(x) dx \end{align*} \] Exemple 4 : Déterminons \[ \int x^2e^x dx \] Solution : \[ \begin{align*} &= e^x(x^2 – 2x + 2) + C \end{align*} \] Exemple 5 : Évaluons \[ \int \frac{e^x}{1+e^x} dx \] Solution : \[ \begin{align*} \text{Posons } u = 1+e^x, \quad du = e^x dx \\ \int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \ln|1+e^x| + C \end{align*} \] Exemple 6 : Calculons \[ \int e^{2x}\cos(3x) dx \] Solution : \[ \begin{align*} &= \frac{e^{2x}(2\cos(3x) + 3\sin(3x))}{13} + C \end{align*} \]