L’étude des intégrales de fonctions paires et impaires constitue un chapitre fondamental en analyse mathématique. Ces propriétés de symétrie permettent de simplifier considérablement le calcul de nombreuses intégrales.
Intégrales de fonctions paires/impaires
Soit \(f\) une fonction définie sur \([-a,a]\) avec \(a > 0\) :
1. Pour une fonction paire :
\[\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx\]
2. Pour une fonction impaire :
\[\int_{-a}^{a} f(x)dx = 0\]
Démonstration :
Pour une fonction paire : \(f(-x) = f(x)\)
Pour une fonction impaire : \(f(-x) = -f(x)\)
Par changement de variable \(x = -t\) :
\[\int_{-a}^{0} f(x)dx = -\int_{a}^{0} f(-t)dt = \int_{0}^{a} f(-t)dt\]
Exemples sur les intégrales de fonctions paires/impaires
Exemple 1 : Calcul de \(\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(x)dx\)
La fonction \(\cos^2(x)\) est paire car \(\cos^2(-x) = \cos^2(x)\)
\[\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(x)dx = 2\int_{0}^{\pi} \cos^2(x)dx = 2[\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}]_{0}^{\pi} = \pi\]
Exemple 2 : Calcul de \(\int_{-2}^{2} x^3dx\)
La fonction \(x^3\) est impaire car \((-x)^3 = -x^3\)
\[\int_{-2}^{2} x^3dx = 0\]
Exemple 3 : Calcul de \(\int_{-1}^{1} (x^4 + x^3)dx\)
Décomposons en somme d’une fonction paire (\(x^4\)) et impaire (\(x^3\)) :
\[\int_{-1}^{1} (x^4 + x^3)dx = \int_{-1}^{1} x^4dx + \int_{-1}^{1} x^3dx\]
\[\int_{-1}^{1} x^4dx = 2\int_{0}^{1} x^4dx = 2[\frac{x^5}{5}]_{0}^{1} = \frac{2}{5}\]
\[\int_{-1}^{1} x^3dx = 0\]
Donc : \[\int_{-1}^{1} (x^4 + x^3)dx = \frac{2}{5}\]