Intégrales périodiques
En analyse mathématique, une intégrale périodique est définie comme l’intégrale d’une fonction périodique sur une période complète. Soit \(f(x)\) une fonction périodique de période \(T\), alors :
\[ \int_{a}^{a+T} f(x)dx = \int_{0}^{T} f(x)dx \]
Cette propriété fondamentale nous permet d’établir que la valeur de l’intégrale est indépendante du point de départ \(a\).
Les propriétés principales incluent :
1. Invariance par translation :
\[ \int_{a}^{a+T} f(x)dx = \int_{b}^{b+T} f(x)dx \]
2. Additivité sur les périodes :
\[ \int_{a}^{a+nT} f(x)dx = n\int_{a}^{a+T} f(x)dx \]
3. Théorème de la moyenne :
\[ \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(x)dx = \text{valeur moyenne de }f \]
Exemples sur les intégrales périodiques
Exemple 1 : Fonction sinusoïdale \[ \int_{0}^{2\pi} \sin(x)dx = 0 \] Cette intégrale illustre parfaitement la périodicité car \(\sin(x)\) a une période de \(2\pi\).
Exemple 2 : Fonction périodique complexe \[ \int_{0}^{\pi} |\sin(x)|dx = 2 \] Cette intégrale montre comment la valeur absolue d’une fonction périodique reste périodique.
Exemple 3 : Application aux séries de Fourier \[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx)dx = \begin{cases} 0 & \text{si } n \neq m \\ \pi & \text{si } n = m \neq 0 \\ 2\pi & \text{si } n = m = 0 \end{cases} \] Cette propriété est fondamentale dans l’étude des séries de Fourier et démontre l’orthogonalité des fonctions trigonométriques.