Intégrales rationnelles
Les intégrales rationnelles sont de la forme \[ \int \frac{P(x)}{Q(x)} dx \] où P(x) et Q(x) sont des polynômes.
La décomposition en éléments simples est la technique principale pour résoudre ces intégrales. Elle suit ces étapes :
1. Division euclidienne si deg(P) ≥ deg(Q)
2. Factorisation de Q(x)
3. Décomposition en éléments simples selon les facteurs :
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = \sum \frac{A_i}{(x-a)^k} + \sum \frac{Bx + C}{x^2 + px + q} \]
Types de facteurs :
– Racines réelles simples : \[ \frac{A}{x-a} \]
– Racines réelles multiples : \[ \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + … + \frac{A_k}{(x-a)^k} \]
– Racines complexes conjuguées : \[ \frac{Bx + C}{x^2 + px + q} \]
Exemples sur Intégrales rationnelles
Exemple 1: \[ \int \frac{1}{x^2-1} dx \] Solution : \[ \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x-1} – \frac{1}{x+1}) \] \[ \int \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}| + C \] Exemple 2: \[ \int \frac{x}{x^2+1} dx \] Solution : \[ \int \frac{x}{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C \] Exemple 3: \[ \int \frac{1}{x^2(x+1)} dx \] Solution : \[ \frac{1}{x^2(x+1)} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} – \frac{1}{x+1} \] \[ \int \frac{1}{x^2(x+1)} dx = -\frac{1}{x} + \ln|x| – \ln|x+1| + C \] Exemple 4: \[ \int \frac{x^2+1}{x^3+x} dx \] Solution : \[ \frac{x^2+1}{x^3+x} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} \] \[ \int \frac{x^2+1}{x^3+x} dx = \ln|x| + C \] Exemple 5: \[ \int \frac{1}{x^3-x^2} dx \] Solution : \[ \frac{1}{x^3-x^2} = \frac{1}{x^2(x-1)} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x(x-1)} \] \[ \int \frac{1}{x^3-x^2} dx = -\frac{1}{x} + \ln|\frac{x}{x-1}| + C \] Exemple 6: \[ \int \frac{x^2+2x+1}{(x+1)(x^2+1)} dx \] Solution : \[ \frac{x^2+2x+1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \] Après décomposition : \[ = \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x^2+1} \] \[ \int \frac{x^2+2x+1}{(x+1)(x^2+1)} dx = \ln|x+1| + \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C \]