Intégrales trigonométriques
Les intégrales trigonométriques se résolvent généralement par différentes méthodes :
1. Substitutions trigonométriques
\[ \int \sin^n x \cos^m x \, dx \]
2. Formules de réduction
\[ \sin^2 x = \frac{1 – \cos(2x)}{2} \]
\[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \]
3. Intégration par parties
\[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \]
4. Formules d’Euler
\[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \]
Les cas particuliers importants incluent :
\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]
\[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \]
\[ \int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C \]
\[ \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \]
Exemples sur Intégrales trigonométriques
Exemple 1: Calculons \[ \int \sin^2 x \, dx \] Solution: \[ \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 – \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin(2x)}{4} + C \] Exemple 2: Évaluons \[ \int \sin^3 x \, dx \] Solution: \[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x (1-\cos^2 x) \, dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C \] Exemple 3: Calculons \[ \int \sin x \cos x \, dx \] Solution: \[ \int \sin x \cos x \, dx = \int \frac{\sin(2x)}{2} \, dx = -\frac{\cos(2x)}{4} + C \] Exemple 4: Résolvons \[ \int \frac{dx}{\sin x \cos x} \, dx \] Solution: \[ \int \frac{dx}{\sin x \cos x} = \int \sec x \csc x \, dx = \ln|\tan x| + C \] Exemple 5: Évaluons \[ \int \sin^4 x \, dx \] Solution: \[ \int \sin^4 x \, dx = \int (\frac{1-\cos(2x)}{2})^2 \, dx = \frac{3x}{8} – \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32} + C \] Exemple 6: Calculons \[ \int \cos^3 x \sin^2 x \, dx \] Solution: \[ \begin{align*} \int \cos^3 x \sin^2 x \, dx &= \int \cos^3 x (1-\cos^2 x) \, dx \\ &= \int (\cos^3 x – \cos^5 x) \, dx \\ &= \sin x (\frac{\cos^2 x}{2} – \frac{\cos^4 x}{4}) + C \end{align*} \]