Intégrales triples
L’intégrale triple est notée mathématiquement par : \[\iiint_V f(x,y,z) \, dV\]
où \(f(x,y,z)\) est une fonction de trois variables et \(V\) représente un volume dans l’espace.
Propriétés fondamentales :
\[\iiint_V (f + g) \, dV = \iiint_V f \, dV + \iiint_V g \, dV\]
\[\iiint_V cf \, dV = c\iiint_V f \, dV\]
Calcul en coordonnées cartésiennes :
\[\iiint_V f(x,y,z) \, dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx\]
Coordonnées cylindriques :
\[\iiint_V f(r,\theta,z) \, dV = \int_a^b \int_{\alpha}^{\beta} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r,\theta,z) \, r \, dr \, d\theta \, dz\]
Coordonnées sphériques :
\[\iiint_V f(\rho,\theta,\phi) \, dV = \int_a^b \int_{\alpha}^{\beta} \int_{\rho_1(\theta,\phi)}^{\rho_2(\theta,\phi)} f(\rho,\theta,\phi) \, \rho^2\sin\phi \, d\rho \, d\theta \, d\phi\]
Exemples sur les intégrales triples
Exemple 1 : Calcul du volume d’une sphère Calculons le volume d’une sphère de rayon R en coordonnées sphériques : \[\iiint_V dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R \rho^2\sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = \frac{4}{3}\pi R^3\]
Exemple 2 : Calcul du centre de masse Pour un solide de densité \(\delta(x,y,z)\), les coordonnées du centre de masse sont données par : \[\bar{x} = \frac{\iiint_V x\delta(x,y,z) \, dV}{\iiint_V \delta(x,y,z) \, dV}\] \[\bar{y} = \frac{\iiint_V y\delta(x,y,z) \, dV}{\iiint_V \delta(x,y,z) \, dV}\] \[\bar{z} = \frac{\iiint_V z\delta(x,y,z) \, dV}{\iiint_V \delta(x,y,z) \, dV}\]
Exemple 3 : Moment d’inertie Le moment d’inertie d’un solide par rapport à l’axe z est donné par : \[I_z = \iiint_V (x^2 + y^2)\delta(x,y,z) \, dV\] Application pour un cylindre de rayon R et de hauteur h : \[I_z = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^R \delta r^3 \, dr \, d\theta \, dz = \frac{1}{2}\pi\delta R^4h\]