Les intervalles ouverts et fermés sont des ensembles fondamentaux de nombres réels, définis par des inégalités et jouant un rôle crucial en analyse et en topologie.
Intervalles ouverts et fermés
Soient \( a \) et \( b \) deux nombres réels tels que \( a < b \).
Intervalle ouvert : L’intervalle ouvert \( (a, b) \) est l’ensemble de tous les nombres réels \( x \) tels que \( a < x < b \) :
\[ (a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \} \]Intervalle fermé : L’intervalle fermé \( [a, b] \) est l’ensemble de tous les nombres réels \( x \) tels que \( a \le x \le b \) :
\[ [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \} \]Intervalles semi-ouverts (ou semi-fermés) :
- \( (a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b \} \) (ouvert à gauche, fermé à droite)
- \( [a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b \} \) (fermé à gauche, ouvert à droite)
Intervalles infinis :
- \( (a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a \} \)
- \( [a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a \} \)
- \( (-\infty, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < b \} \)
- \( (-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le b \} \)
- \( (-\infty, +\infty) = \mathbb{R} \)
Un intervalle ouvert ne contient pas ses bornes, tandis qu’un intervalle fermé contient ses bornes.
Exemples sur les intervalles ouverts et fermés
Exemple 1: \( (2, 5) \) est l’ensemble des nombres réels strictement compris entre 2 et 5. 2 et 5 ne sont pas inclus.
Exemple 2: \( [1, 4] \) est l’ensemble des nombres réels compris entre 1 et 4, inclus. 1 et 4 sont inclus.
Exemple 3: Déterminer \(A \cup B\) et \(A \cap B\) si \(A = [1,3]\) et \(B=(2,5)\).
Réponse: \(A \cup B = [1,5)\) car c’est l’ensemble de tous les éléments qui appartiennent à A ou B (ou les deux). \(A \cap B = (2,3]\) car c’est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
Exemple 4: L’ensemble \( \{x \in \mathbb{R} \mid |x – 3| < 2 \} \) est-il un intervalle ouvert, fermé, ou ni l'un ni l'autre ?
Réponse: L’inégalité \( |x – 3| < 2 \) est équivalente à \( -2 < x - 3 < 2 \), qui est équivalente à \( 1 < x < 5 \). Donc, l'ensemble est l'intervalle ouvert \( (1, 5) \).
Exemple 5: Est-ce que \(\mathbb{R}\) peut s’écrire comme l’union d’intervalles ouverts disjoints non-vides?
Réponse: Non. Supposons que \(\mathbb{R} = \bigcup_{i \in I} O_i\), où les \(O_i\) sont des intervalles ouverts disjoints et non vides. Soit \(x \in O_1\). Comme \(O_1\) est ouvert, il existe \(\epsilon > 0\) tel que \((x-\epsilon, x+\epsilon) \subset O_1\). Soit \(S = \{ y > x, y \notin O_1\}\). \(S\) est non vide car \(O_1\) ne peut pas être \(\mathbb{R}\) tout entier (sinon il n’y aura qu’un seul intervalle ouvert). \(S\) est minoré par \(x\), donc il admet une borne inférieure, \(s = \inf S\). On a \(s \notin O_1\), car sinon il existerait un voisinage ouvert de \(s\) contenu dans \(O_1\), contredisant le fait que \(s\) est la borne inférieure. \(s\) ne peut pas appartenir à un autre \(O_i\) pour \(i \neq 1\), car comme \(O_i\) est ouvert on pourrait trouver un intervalle autour de \(s\) contenu dans \(O_i\), ce qui contredirait le fait que \(s\) est borne inférieure ou le fait que les intervalles sont disjoints. Donc \(s\) n’appartient à aucun \(O_i\), contradiction.