La fonction sinus hyperbolique (sinh x)

La fonction sinus hyperbolique, notée \( \sinh(x) \), est une fonction mathématique définie pour tout nombre réel \( x \) par :

\[ \sinh(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{2} \]

Propriétés importantes de la fonction \( \sinh(x) \) :

Elle est impaire, c’est-à-dire \( \sinh(-x) = -\sinh(x) \).
Elle est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).
Elle vérifie \( \sinh(0) = 0 \).
Elle est utilisée dans de nombreux domaines, tels que la physique, l’ingénierie et les sciences appliquées, notamment pour modéliser des phénomènes hyperboliques.

Exemples sur La fonction sinus hyperbolique (sinh x)

Considérons \( x = 0 \). La valeur de \( \sinh(x) \) est :

\[ \sinh(0) = \frac{e^0 – e^{-0}}{2} = \frac{1 – 1}{2} = 0 \]

En effet, la fonction sinus hyperbolique s’annule en \( x = 0 \).

Considérons \( x = 1 \). La valeur de \( \sinh(x) \) est :

\[ \sinh(1) = \frac{e^1 – e^{-1}}{2} \approx \frac{2.71828 – 0.36788}{2} \approx 1.17520 \]

En effet, la fonction sinus hyperbolique croît rapidement pour \( x > 0 \).

Considérons \( x = -1 \). La valeur de \( \sinh(x) \) est :

\[ \sinh(-1) = \frac{e^{-1} – e^{1}}{2} \approx \frac{0.36788 – 2.71828}{2} \approx -1.17520 \]

En effet, la fonction sinus hyperbolique est impaire, donc \( \sinh(-x) = -\sinh(x) \).