La fonction trigonométrique Cosinus (cos x)
La fonction cosinus, notée \(\cos x\), est une fonction périodique fondamentale en trigonométrie. Elle associe à tout nombre réel x le cosinus de l’angle x.
Propriétés principales :
- Domaine de définition : \(\mathbb{R}\)
- Ensemble image : \([-1,1]\)
- Période : \(2\pi\)
- Parité : fonction paire (\(\cos(-x) = \cos(x)\))
Formules essentielles :
- Dérivée : \(\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)\)
- Primitive : \(\int \cos(x)dx = \sin(x) + C\)
- Relation fondamentale : \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)
Exemples sur la fonction Cosinus
Exemple 1 : Résolution de l’équation \(\cos(x) = \frac{1}{2}\)
Solution :
- \(\cos(x) = \frac{1}{2}\)
- \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\), où \(n \in \mathbb{Z}\)
Exemple 2 : Calcul de \(\int_0^{\pi} \cos^2(x)dx\)
Solution :
- \(\int_0^{\pi} \cos^2(x)dx = \frac{\pi}{2}\)
- Utilisation de la formule : \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\)
Exemple 3 : Développement en série de Taylor
La série de Taylor de \(\cos(x)\) autour de 0 :
\[\cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\]