La fonction trigonométrique tangente (tan x)
La fonction trigonométrique tangente, notée \( \tan(x) \), est définie comme le rapport entre le sinus et le cosinus d’un angle \( x \). Formellement :
\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]Propriétés importantes de la fonction tangente :
- Elle est périodique avec une période de \( \pi \), c’est-à-dire \( \tan(x + \pi) = \tan(x) \).
- Elle est impaire, c’est-à-dire \( \tan(-x) = -\tan(x) \).
- Elle présente des asymptotes verticales aux points où \( \cos(x) = 0 \), c’est-à-dire pour \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \).
- Elle est utilisée dans de nombreux domaines, tels que la physique, l’ingénierie et les sciences appliquées.
Exemples sur La fonction trigonométrique tangente (tan x)
Exemple 1 : Valeur de \( \tan(x) \) pour \( x = \frac{\pi}{4} \)
Considérons \( x = \frac{\pi}{4} \). La valeur de \( \tan(x) \) est :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \]En effet, \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), donc :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \]Exemple 2 : Valeur de \( \tan(x) \) pour \( x = \frac{\pi}{6} \)
Considérons \( x = \frac{\pi}{6} \). La valeur de \( \tan(x) \) est :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]En effet, \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \) et \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), donc :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]Exemple 3 : Asymptote verticale de \( \tan(x) \) pour \( x = \frac{\pi}{2} \)
Considérons \( x = \frac{\pi}{2} \). La fonction \( \tan(x) \) n’est pas définie en ce point car \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \). On dit que \( x = \frac{\pi}{2} \) est une asymptote verticale.