Sommes et séries
Binôme de Newton
Le théorème du binôme de Newton énonce que pour tout entier naturel \( n \) et tout \( x \) et \( y \) réels, on a :
\[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \]
où \( \binom{n}{k} \) est le coefficient binomial, donné par :
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Sommes arithmétiques
Une somme arithmétique est la somme d’une suite de nombres qui augmente de manière constante. La formule pour la somme des \( n \) premiers entiers naturels est :
\[ S_n = \frac{n(n+1)}{2} \]
Sommes géométriques
Une somme géométrique est la somme d’une suite de nombres où chaque terme est multiplié par un facteur constant. Pour une suite géométrique de premier terme \( a \) et de raison \( r \), la somme des \( n \) premiers termes est donnée par :
\[ S_n = a \frac{1 – r^n}{1 – r} \quad \text{(si \( r \neq 1 \))} \]
Sommes de puissances
Les sommes de puissances sont données par la formule :
| Ordre | Formule |
|---|---|
| 1 | \( \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \) |
| 2 | \( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) |
| 3 | \( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \) |
Sommes de Newton
Les sommes de Newton relient les puissances des entiers aux coefficients binomiaux. Elles sont exprimées par la formule :
\[ \sum_{k=1}^{n} k^m = \frac{1}{m+1} \sum_{j=0}^{m} \binom{m+1}{j} B_j n^{m+1-j} \]
où \( B_j \) sont les nombres de Bernoulli.Sommes télescopiques
Les sommes télescopiques sont des séries où la plupart des termes se simplifient. Par exemple :
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \right) = 1 – \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \]
Produits finis
Les produits finis sont une généralisation des sommes et sont notés comme suit :
\[ P_n = \prod_{k=1}^{n} a_k \]
où \( a_k \) est une suite de nombres.
Nombre harmonique
Le nombre harmonique \( H_n \) est défini comme suit :
\[ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \]
Nombres de Fibonacci
La suite de Fibonacci est définie par :
\[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad \text{pour } n \geq 2 \]
Les nombres de Fibonacci apparaissent dans divers contextes mathématiques et naturels.
Coefficients et combinatoire
Coefficients binomiaux
Les coefficients binomiaux sont des nombres qui apparaissent dans le développement du binôme de Newton. Ils sont notés \( \binom{n}{k} \) et représentent le nombre de façons de choisir \( k \) éléments parmi \( n \) sans tenir compte de l’ordre :
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Par exemple, \( \binom{5}{2} = 10 \) indique qu’il existe 10 façons de choisir 2 éléments parmi 5.
Triangle de Pascal
Le triangle de Pascal est une représentation visuelle des coefficients binomiaux. Chaque nombre dans le triangle est la somme des deux nombres directement au-dessus de lui :
| 1 | ||||
| 1 | 1 | |||
| 1 | 2 | 1 | ||
| 1 | 3 | 3 | 1 | |
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
Factorielle (!)
La factorielle d’un entier positif \( n \), notée \( n! \), est le produit de tous les entiers positifs jusqu’à \( n \). Elle est définie comme suit :
\[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 \]
Par convention, \( 0! = 1 \).
Symbole de produit (∏)
Le symbole de produit, noté \( \prod \), est utilisé pour indiquer le produit d’une suite de facteurs. Par exemple, le produit des \( n \) premiers entiers est exprimé comme :
\[ \prod_{i=1}^{n} i = n! \]
Symbole de somme (∑)
Le symbole de somme, noté \( \sum \), représente la somme d’une suite de termes. Par exemple, la somme des \( n \) premiers entiers est notée :
\[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \]
Ce symbole est très utilisé pour exprimer des séries et des sommes dans divers domaines des mathématiques.
Transformations algébriques
Changement d’indice (dans les sommes et produits)
Le changement d’indice est une méthode qui permet de modifier les indices d’une somme ou d’un produit sans changer le résultat. Cela est particulièrement utile dans les contextes où les limites des sommes ou des produits doivent être ajustées.
Considérons par exemple une somme :
\[ \sum_{k=1}^{n} a_k \]
Si nous voulons effectuer un changement d’indice en remplaçant \( k \) par \( j = n – k + 1 \), nous avons :
\[ k = 1 \Rightarrow j = n, \quad k = n \Rightarrow j = 1 \]
Alors, la somme devient :
\[ \sum_{j=n}^{1} a_{n-j+1} = \sum_{j=1}^{n} a_{n-j+1} \]
Ce changement permet de réorganiser les termes de manière à faciliter le calcul ou la simplification.
Télescopage
Le télescopage est une technique qui permet de simplifier une somme ou un produit en annulant plusieurs termes. Cette méthode est particulièrement utile pour les séries où les termes se simplifient les uns avec les autres.
Par exemple, considérons la somme suivante :
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \right) \]
En développant cette somme, nous obtenons :
\[ S_n = \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \]
Comme on peut le voir, tous les termes intermédiaires se simplifient, ce qui donne :
\[ S_n = 1 – \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \]
Cette technique est très puissante pour résoudre des problèmes de séries et d’analyses infinies.