Le plan complexe est un outil fondamental en mathématiques, particulièrement en analyse et en algèbre. Il permet de représenter les nombres complexes de manière géométrique, offrant ainsi une perspective visuelle pour résoudre des problèmes variés.
Le plan complexe
Dans le plan complexe, chaque nombre complexe \( z = x + iy \) (où \( x \) et \( y \) sont des réels, et \( i \) est l’unité imaginaire) est représenté par un point \( (x, y) \) dans un repère orthonormé. L’axe horizontal correspond à la partie réelle (\( \Re(z) \)), et l’axe vertical correspond à la partie imaginaire (\( \Im(z) \)).
La distance d’un point à l’origine est appelée le module, noté \( |z| \), et est donnée par la formule :
\( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
L’angle que forme le point avec l’axe réel positif est appelé l’argument, noté \( \text{arg}(z) \). Ces deux notions permettent de représenter \( z \) en coordonnées polaires :
\( z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta) \),
où \( \theta = \text{arg}(z) \).Exemples sur le plan complexe
Exemple 1 : Trouver le module et l’argument de \( z = 3 + 4i \).
Solution :
– Le module est donné par :
\( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \).
– L’argument est donné par :
\( \theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.93 \, \text{rad} \) (ou \( 53.13^\circ \)).
Ainsi, \( z \) peut être représenté en coordonnées polaires comme :
\( z = 5 (\cos 0.93 + i \sin 0.93) \).
Exemple 2 : Représentation graphique de \( z = -2 + 2i \).
Solution : Le point correspondant à \( z \) se situe dans le deuxième quadrant, avec :
\( |z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \),
et
\( \theta = \pi – \arctan\left(\frac{2}{2}\right) = \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \, \text{rad} \) (ou \( 135^\circ \)).