Les connecteurs logiques constituent un élément fondamental en mathématiques avancées, permettant d’établir des relations entre différentes propositions et de construire des raisonnements rigoureux.
Les connecteurs logiques
En logique mathématique, nous utilisons plusieurs connecteurs fondamentaux :
La négation \(\neg\) : Pour une proposition P, \(\neg P\) est vraie si et seulement si P est fausse.
La conjonction \(\wedge\) : Pour deux propositions P et Q, \(P \wedge Q\) est vraie si et seulement si P et Q sont toutes les deux vraies.
La disjonction \(\vee\) : Pour deux propositions P et Q, \(P \vee Q\) est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions est vraie.
L’implication \(\Rightarrow\) : Pour deux propositions P et Q, \(P \Rightarrow Q\) est vraie sauf si P est vraie et Q est fausse.
L’équivalence \(\Leftrightarrow\) : Pour deux propositions P et Q, \(P \Leftrightarrow Q\) est vraie si et seulement si P et Q ont la même valeur de vérité.
Exemples sur les connecteurs logiques
Considérons les propositions suivantes :
P : « x est pair »
Q : « x est divisible par 4 »
Nous pouvons écrire :
\(Q \Rightarrow P\) : « Si x est divisible par 4, alors x est pair »
\(\neg (P \Rightarrow Q)\) : « Ce n’est pas vrai que si x est pair, alors x est divisible par 4 »
Table de vérité pour \(P \wedge Q\) :
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \wedge Q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array}\]