Limite à gauche d’une fonction
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et soit \(a\) un point de \(I\) ou une borne de \(I\). La limite à gauche d’une fonction \(f\) en un point \(a\) est la valeur vers laquelle tend \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) par valeurs inférieures à \(a\).
La notion de limite à gauche d’une fonction est cruciale en analyse mathématique, elle permet de comprendre le comportement d’une fonction à proximité d’un point, en particulier lorsque la fonction n’est pas définie en ce point ou présente une discontinuité.
Définition :Soit \(f: D \to \mathbb{R}\) une fonction définie sur un ensemble \(D \subset \mathbb{R}\) et \(a\) un point adhérent à \(D \cap ]-\infty, a[\).
On dit que \(f\) admet une limite à gauche en \(a\), notée \(\lim_{x \to a^-} f(x)\), si et seulement si :
\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D, a – \delta < x < a \implies |f(x) - l| < \epsilon\]Ou, de manière équivalente, pour toute suite \((x_n)\) d’éléments de \(D \cap ]-\infty, a[\) qui converge vers \(a\), la suite \((f(x_n))\) converge vers \(l\).
Théorème :Si une fonction \(f\) admet une limite finie en un point \(a\), alors la limite à gauche et la limite à droite en \(a\) existent et sont égales à la limite en \(a\).
- Si \( \lim_{x \to a} f(x) = L \), alors \( \lim_{x \to a^-} f(x) = L\) et \( \lim_{x \to a^+} f(x) = L\).
Exemples sur la limite à gauche d’une fonction
Exemple 1 :
Considérons la fonction \(f(x)\) définie par :
\[ f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} \]Calculons la limite à gauche de \(f\) en \(0\).
Pour \(x < 0\), on a \(f(x) = x + 1\). Donc, lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs inférieures, \(f(x)\) tend vers \(0 + 1 = 1\).
Ainsi, la limite à gauche de \(f\) en \(0\) est :
\[\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1\]Exemple 2 :
Considérons la fonction partie entière, notée \(E(x)\), qui est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui, à tout réel \(x\), associe le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(x\).
Calculons la limite à gauche de \(E(x)\) en \(2\).
Pour \(x \in [1, 2[\), on a \(E(x) = 1\). Donc, lorsque \(x\) tend vers \(2\) par valeurs inférieures, \(E(x)\) reste constante et égale à \(1\).
Ainsi, la limite à gauche de \(E(x)\) en \(2\) est :
\[\lim_{x \to 2^-} E(x) = 1\]