Limite à l’infini, limite en l’infini d’une fonction

limite à l’infini, limite en l’infini d’une fonction

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la notion de limite à l’infini, limite en l’infini d’une fonction décrit le comportement d’une fonction lorsque sa variable tend vers l’infini positif ou négatif. Comprendre la limite en l’infini d’une fonction est essentiel pour l’étude des asymptotes, du comportement global des fonctions et de la convergence des suites.

Définitions :

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle de la forme \(]A, +\infty[\) (respectivement \(]-\infty, A[\)).

  • Limite finie en \(+\infty\) : On dit que \(f\) a pour limite \(L\) en \(+\infty\) (où \(L\) est un réel) si : \[\forall \epsilon > 0, \exists M \in \mathbb{R}, \forall x > M, |f(x) – L| < \epsilon\] On note alors \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\).
  • Limite finie en \(-\infty\) : On dit que \(f\) a pour limite \(L\) en \(-\infty\) (où \(L\) est un réel) si : \[\forall \epsilon > 0, \exists M \in \mathbb{R}, \forall x < M, |f(x) - L| < \epsilon\] On note alors \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\).
  • Limite infinie en \(+\infty\) :
    • On dit que \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\) si : \[\forall A > 0, \exists M \in \mathbb{R}, \forall x > M, f(x) > A\] On note alors \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
    • On dit que \(f\) a pour limite \(-\infty\) en \(+\infty\) si : \[\forall A < 0, \exists M \in \mathbb{R}, \forall x > M, f(x) < A\] On note alors \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).
  • Limite infinie en \(-\infty\) :
    • On dit que \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(-\infty\) si : \[\forall A > 0, \exists M \in \mathbb{R}, \forall x < M, f(x) > A\] On note alors \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\).
    • On dit que \(f\) a pour limite \(-\infty\) en \(-\infty\) si : \[\forall A < 0, \exists M \in \mathbb{R}, \forall x < M, f(x) < A\] On note alors \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).
Propriétés :
  • Unicité de la limite : Si une fonction admet une limite en \(+\infty\) ou en \(-\infty\), cette limite est unique.
  • Opérations sur les limites : Les règles usuelles sur les opérations avec les limites (somme, produit, quotient, composition) s’appliquent aux limites en l’infini, sous réserve d’éviter les formes indéterminées.

Exemples sur la limite à l’infini, limite en l’infini d’une fonction

Exemple 1 :

Considérons la fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) définie pour tout \(x \neq 0\). Analysons sa limite en l’infini.

Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\frac{1}{x}\) tend vers \(0\). De même, lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\), \(\frac{1}{x}\) tend également vers \(0\). Ainsi, on a :

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\] \[\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0\]

La droite d’équation \(y = 0\) (l’axe des abscisses) est une asymptote horizontale à la courbe représentative de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Exemple 2 :

Considérons la fonction \(f(x) = x^2\). Analysons sa limite en l’infini.

Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(x^2\) tend également vers \(+\infty\). De même, lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\), \(x^2\) tend aussi vers \(+\infty\) (car le carré d’un nombre négatif est positif).

Ainsi, on a :

\[\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\] \[\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty\]