Limites de fonctions et continuité

Introduction aux Limites de fonctions

La notion de limite est un concept fondamental en analyse mathématique qui permet d’étudier le comportement d’une fonction au voisinage d’un point ou à l’infini. Cette notion est essentielle pour comprendre la continuité, la dérivabilité et l’intégration.

Présentation intuitive de la limite

Considérons une fonction f définie sur un domaine D et un point a qui peut être un nombre réel ou l’infini. La limite de f en a représente la valeur vers laquelle tend f(x) lorsque x s’approche de a.

Définition formelle (ε-δ)

Définition 1: Soit f une fonction définie sur D et a∈R. On dit que f admet une limite L en a si : ∀ε>0,∃δ>0,∀x∈D,0<|x−a|<δ⇒|f(x)−L|<ε On note alors : limx→af(x)=L

Limite à droite et à gauche

Proposition 1: Une fonction admet une limite en un point a si et seulement si elle admet des limites à droite et à gauche en ce point, et ces limites sont égales : limx→af(x)=L⇔limx→a+f(x)=limx→a−f(x)=L

Unicité de la limite

Théorème 1: Si une fonction admet une limite en un point, cette limite est unique.

Caractérisation séquentielle

Théorème 2: Une fonction f admet une limite L en a si et seulement si pour toute suite (xn) convergeant vers a avec xn≠a, la suite f(xn) converge vers L.

Composition des limites

Théorème 3: Soient f et g deux fonctions telles que limx→ag(x)=b et limx→bf(x)=L. Si g(x)≠b au voisinage de a, alors : limx→af(g(x))=L

Passage à la limite dans une inégalité

Proposition 2: Si f(x)≤g(x) au voisinage de a et si les limites de f et g existent en a, alors : limx→af(x)≤limx→ag(x)

Limite monotone

Théorème 4: Soit f une fonction monotone sur un intervalle I. Si f est bornée sur I, alors f admet une limite à chaque extrémité de I.
La compréhension des limites est cruciale car elle constitue la base de l’analyse mathématique et permet d’étudier le comportement local et asymptotique des fonctions.

Grands théorèmes sur la continuité

La continuité est un concept fondamental en analyse mathématique qui décrit le comportement local d’une fonction. Une fonction est continue en un point si elle ne présente pas de « saut » ou de « rupture » en ce point. Commençons par rappeler la définition formelle de la continuité : Une fonction f:E→R est continue en un point a de E si et seulement si : ∀ε>0,∃δ>0,∀x∈E,|x−a|<δ⇒|f(x)−f(a)|<ε
Théorème (Continuité et composition)

Soient f:E→F et g:F→G deux fonctions continues en a∈E et f(a)∈F respectivement. Alors la fonction composée g∘f est continue en a.
La continuité uniforme est une notion plus forte que la continuité simple :
Proposition (Caractérisation de la continuité uniforme)

Une fonction f:E→R est uniformément continue sur E si et seulement si : ∀ε>0,∃δ>0,∀(x,y)∈E2,|x−y|<δ⇒|f(x)−f(y)|<ε
Un résultat majeur concernant les fonctions continues est le théorème suivant :
Théorème (Heine)

Toute fonction continue sur un segment [a,b] est uniformément continue sur ce segment.
La compacité et la continuité sont étroitement liées :
Théorème (Weierstrass)

Soit f:[a,b]→R une fonction continue sur un segment [a,b]. Alors f est bornée et atteint ses bornes : il existe m,M∈[a,b] tels que : ∀x∈[a,b],f(m)≤f(x)≤f(M)
Les fonctions continues possèdent également la propriété des valeurs intermédiaires :
Théorème (Valeurs intermédiaires)

Soit f:[a,b]→R une fonction continue. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe c∈[a,b] tel que f(c)=k.

Dichotomie

La méthode de dichotomie est une technique fondamentale pour la recherche des zéros d’une fonction continue sur un intervalle fermé. Elle repose sur le théorème des valeurs intermédiaires. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b], la dichotomie permet d’approcher une solution de l’équation f(x)=0 avec une précision donnée.
Théorème (Théorème des valeurs intermédiaires)
Soit f une fonction continue sur [a,b]. Si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors il existe au moins un point c dans [a,b] tel que f(c)=0.
Le principe de la méthode repose sur une subdivision successive de l’intervalle initial [a,b] en deux parties égales.
Proposition
Pour une précision ε>0 donnée, le nombre d’itérations n nécessaire pour atteindre cette précision vérifie : n≥⌈log2⁡(b−aε)⌉
L’algorithme de dichotomie suit les étapes suivantes : 1. On calcule le point milieu m=a+b2 2. On évalue f(m) 3. Si |f(m)|<ε, on a trouvé une solution approchée 4. Sinon, on remplace : - [a,b] par [a,m] si f(a)f(m)<0 - [a,b] par [m,b] si f(m)f(b)<0 La convergence de la méthode est garantie par le fait que la longueur de l’intervalle est divisée par 2 à chaque itération : longueurn+1=longueurn2
Théorème (Vitesse de convergence)
La méthode de dichotomie possède une convergence linéaire de raison 12. Plus précisément : |xn–α|≤b−a2n où α est la solution exacte et xn l’approximation à l’étape n.
L’erreur relative à l’étape n est donnée par : εn=b−a2n+1 Cette méthode présente l’avantage d’être robuste et de converger de manière certaine, mais sa vitesse de convergence est relativement lente comparée à d’autres méthodes comme Newton ou la sécante.