Linéarité de l’intégrale
La linéarité de l’intégrale s’exprime par deux propriétés essentielles :
1. Additivité : Pour deux fonctions intégrables f et g sur un intervalle [a,b], on a :
\[ \int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx \]
2. Homogénéité : Pour toute fonction intégrable f et tout réel k, on a :
\[ \int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx \]
Ces deux propriétés peuvent être combinées dans la formule générale :
\[ \int_a^b [k_1f(x) + k_2g(x)] dx = k_1\int_a^b f(x) dx + k_2\int_a^b g(x) dx \]
où k₁ et k₂ sont des constantes réelles.
Exemples sur la linéarité de l’intégrale
Exemple 1: Calculons \[ \int_0^1 (2x + 3\sin x) dx \] Par linéarité : \[ \int_0^1 (2x + 3\sin x) dx = 2\int_0^1 x dx + 3\int_0^1 \sin x dx \] \[ = 2[\frac{x^2}{2}]_0^1 + 3[-\cos x]_0^1 \] \[ = 2(\frac{1}{2}) + 3(-\cos(1) + 1) \] Exemple 2: Pour \[ \int_0^{\pi} (5\cos x – 2\sin x) dx \] On applique la linéarité : \[ \int_0^{\pi} (5\cos x – 2\sin x) dx = 5\int_0^{\pi} \cos x dx – 2\int_0^{\pi} \sin x dx \] \[ = 5[\sin x]_0^{\pi} – 2[-\cos x]_0^{\pi} \] \[ = 5(0 – 0) – 2(1 – 1) = 0 \]