La linéarité de l’intégrale est une propriété fondamentale en analyse mathématique qui permet de décomposer et simplifier le calcul des intégrales complexes.

Linéarité de l’intégrale


La linéarité de l’intégrale s’exprime par deux propriétés essentielles : 1. Additivité : Pour deux fonctions intégrables f et g sur un intervalle [a,b], on a : \[ \int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx \] 2. Homogénéité : Pour toute fonction intégrable f et tout réel k, on a : \[ \int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx \] Ces deux propriétés peuvent être combinées dans la formule générale : \[ \int_a^b [k_1f(x) + k_2g(x)] dx = k_1\int_a^b f(x) dx + k_2\int_a^b g(x) dx \] où k₁ et k₂ sont des constantes réelles.

Exemples sur la linéarité de l’intégrale


Exemple 1: Calculons \[ \int_0^1 (2x + 3\sin x) dx \] Par linéarité : \[ \int_0^1 (2x + 3\sin x) dx = 2\int_0^1 x dx + 3\int_0^1 \sin x dx \] \[ = 2[\frac{x^2}{2}]_0^1 + 3[-\cos x]_0^1 \] \[ = 2(\frac{1}{2}) + 3(-\cos(1) + 1) \] Exemple 2: Pour \[ \int_0^{\pi} (5\cos x – 2\sin x) dx \] On applique la linéarité : \[ \int_0^{\pi} (5\cos x – 2\sin x) dx = 5\int_0^{\pi} \cos x dx – 2\int_0^{\pi} \sin x dx \] \[ = 5[\sin x]_0^{\pi} – 2[-\cos x]_0^{\pi} \] \[ = 5(0 – 0) – 2(1 – 1) = 0 \]