Logarithme décimal (log₁₀ x)


Le logarithme décimal, noté \( \log_{10}(x) \) ou simplement \( \log(x) \), est la fonction inverse de la fonction exponentielle de base 10. Il est défini pour tout nombre réel strictement positif \( x \) et vérifie :

\[ y = \log_{10}(x) \quad \text{si et seulement si} \quad x = 10^y \]

Propriétés importantes du logarithme décimal :

  • Il est strictement croissant sur \( \mathbb{R}^+ \).
  • Il vérifie \( \log_{10}(1) = 0 \) et \( \log_{10}(10) = 1 \).
  • Il satisfait les propriétés fonctionnelles suivantes pour tout \( a, b > 0 \) :
    • \( \log_{10}(a \cdot b) = \log_{10}(a) + \log_{10}(b) \).
    • \( \log_{10}\left(\frac{a}{b}\right) = \log_{10}(a) – \log_{10}(b) \).
    • \( \log_{10}(a^b) = b \cdot \log_{10}(a) \).
  • Il est utilisé dans de nombreux domaines, tels que la chimie (pH), l’acoustique (décibels) et l’ingénierie.

Exemples sur Logarithme décimal (log₁₀ x)


Exemple 1 : Valeur de \( \log_{10}(x) \) pour \( x = 1 \)

Considérons \( x = 1 \). La valeur de \( \log_{10}(x) \) est :

\[ \log_{10}(1) = 0 \]

En effet, \( 10^0 = 1 \), donc \( \log_{10}(1) = 0 \).

\( (1, 0) \)

Exemple 2 : Valeur de \( \log_{10}(x) \) pour \( x = 10 \)

Considérons \( x = 10 \). La valeur de \( \log_{10}(x) \) est :

\[ \log_{10}(10) = 1 \]

En effet, \( 10^1 = 10 \), donc \( \log_{10}(10) = 1 \).

\( (10, 1) \)

Exemple 3 : Valeur de \( \log_{10}(x) \) pour \( x = 100 \)

Considérons \( x = 100 \). La valeur de \( \log_{10}(x) \) est :

\[ \log_{10}(100) = 2 \]

En effet, \( 10^2 = 100 \), donc \( \log_{10}(100) = 2 \).

\( (100, 2) \)