Logarithme décimal (log₁₀ x)
Le logarithme décimal, noté \( \log_{10}(x) \) ou simplement \( \log(x) \), est la fonction inverse de la fonction exponentielle de base 10. Il est défini pour tout nombre réel strictement positif \( x \) et vérifie :
\[ y = \log_{10}(x) \quad \text{si et seulement si} \quad x = 10^y \]Propriétés importantes du logarithme décimal :
- Il est strictement croissant sur \( \mathbb{R}^+ \).
- Il vérifie \( \log_{10}(1) = 0 \) et \( \log_{10}(10) = 1 \).
- Il satisfait les propriétés fonctionnelles suivantes pour tout \( a, b > 0 \) :
- \( \log_{10}(a \cdot b) = \log_{10}(a) + \log_{10}(b) \).
- \( \log_{10}\left(\frac{a}{b}\right) = \log_{10}(a) – \log_{10}(b) \).
- \( \log_{10}(a^b) = b \cdot \log_{10}(a) \).
- Il est utilisé dans de nombreux domaines, tels que la chimie (pH), l’acoustique (décibels) et l’ingénierie.
Exemples sur Logarithme décimal (log₁₀ x)
Exemple 1 : Valeur de \( \log_{10}(x) \) pour \( x = 1 \)
Considérons \( x = 1 \). La valeur de \( \log_{10}(x) \) est :
\[ \log_{10}(1) = 0 \]En effet, \( 10^0 = 1 \), donc \( \log_{10}(1) = 0 \).
Exemple 2 : Valeur de \( \log_{10}(x) \) pour \( x = 10 \)
Considérons \( x = 10 \). La valeur de \( \log_{10}(x) \) est :
\[ \log_{10}(10) = 1 \]En effet, \( 10^1 = 10 \), donc \( \log_{10}(10) = 1 \).
Exemple 3 : Valeur de \( \log_{10}(x) \) pour \( x = 100 \)
Considérons \( x = 100 \). La valeur de \( \log_{10}(x) \) est :
\[ \log_{10}(100) = 2 \]En effet, \( 10^2 = 100 \), donc \( \log_{10}(100) = 2 \).