Logarithme népérien (ln x)


Le logarithme népérien, noté ln(x), est une fonction mathématique fondamentale définie pour tout réel strictement positif. C’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle \(e^x\). Propriétés principales :
  • Domaine de définition : \(\mathbb{R}^{+*}\)
  • \(\ln(e^x) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
  • \(\ln(1) = 0\)
  • \(\ln(e) = 1\)
  • Pour tout \(x, y > 0\) : \(\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)\)
  • Pour tout \(x > 0\) et \(n \in \mathbb{R}\) : \(\ln(x^n) = n\ln(x)\)

Exemples sur le logarithme népérien


Exemple 1 : Résolution d’une équation logarithmique Résoudre : \(\ln(2x+1) = 2\) Solution :
  • \(\ln(2x+1) = 2\)
  • \(e^{\ln(2x+1)} = e^2\)
  • \(2x+1 = e^2\)
  • \(2x = e^2-1\)
  • \(x = \frac{e^2-1}{2}\)

Exemple 2 : Dérivation Calculer : \(\frac{d}{dx}[\ln(x^2+1)]\) Solution :
  • Par la règle de dérivation en chaîne :
  • \(\frac{d}{dx}[\ln(x^2+1)] = \frac{1}{x^2+1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1)\)
  • \(\frac{d}{dx}[\ln(x^2+1)] = \frac{2x}{x^2+1}\)

Exemple 3 : Limite Calculer : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}\) Solution :
  • Utilisons la règle de L’Hôpital :
  • \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\)