Logarithme népérien (ln x)
Le logarithme népérien, noté ln(x), est une fonction mathématique fondamentale définie pour tout réel strictement positif. C’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle \(e^x\).
Propriétés principales :
- Domaine de définition : \(\mathbb{R}^{+*}\)
- \(\ln(e^x) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
- \(\ln(1) = 0\)
- \(\ln(e) = 1\)
- Pour tout \(x, y > 0\) : \(\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)\)
- Pour tout \(x > 0\) et \(n \in \mathbb{R}\) : \(\ln(x^n) = n\ln(x)\)
Exemples sur le logarithme népérien
Exemple 1 : Résolution d’une équation logarithmique
Résoudre : \(\ln(2x+1) = 2\)
Solution :
- \(\ln(2x+1) = 2\)
- \(e^{\ln(2x+1)} = e^2\)
- \(2x+1 = e^2\)
- \(2x = e^2-1\)
- \(x = \frac{e^2-1}{2}\)
Exemple 2 : Dérivation
Calculer : \(\frac{d}{dx}[\ln(x^2+1)]\)
Solution :
- Par la règle de dérivation en chaîne :
- \(\frac{d}{dx}[\ln(x^2+1)] = \frac{1}{x^2+1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1)\)
- \(\frac{d}{dx}[\ln(x^2+1)] = \frac{2x}{x^2+1}\)
Exemple 3 : Limite
Calculer : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}\)
Solution :
- Utilisons la règle de L’Hôpital :
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\)