Méthode de variation de la constante

Méthode de variation de la constante

Définitions et Théorèmes

La méthode de variation de la constante est une technique utilisée pour résoudre des équations différentielles linéaires non homogènes. Elle consiste à trouver une solution particulière en supposant que la constante de la solution générale de l’équation homogène associée est une fonction à déterminer.

Théorème : Soit l’équation différentielle linéaire non homogène :

\[ y'(t) + p(t)y(t) = q(t) \]

où \( p(t) \) et \( q(t) \) sont des fonctions continues. La solution générale est donnée par :

\[ y(t) = y_h(t) + y_p(t) \]

où \( y_h(t) \) est la solution générale de l’équation homogène associée, et \( y_p(t) \) est une solution particulière obtenue par la méthode de variation de la constante.

Exemples sur la méthode de variation de la constante

Exemple 1 : Équation différentielle linéaire du premier ordre

Considérons l’équation différentielle suivante :

\[ y'(t) + 2y(t) = e^{-t} \]

Étapes de résolution :

  1. Résoudre l’équation homogène associée :

    2. \[ y'(t) + 2y(t) = 0 \implies y_h(t) = Ce^{-2t} \]

  2. Appliquer la méthode de variation de la constante en supposant \( C = C(t) \) :

    3. \[ y_p(t) = C(t)e^{-2t} \]

  3. Calculer \( y_p'(t) \) et substituer dans l’équation non homogène :

    4. \[ y_p'(t) = C'(t)e^{-2t} – 2C(t)e^{-2t} \]

    \[ C'(t)e^{-2t} – 2C(t)e^{-2t} + 2C(t)e^{-2t} = e^{-t} \implies C'(t)e^{-2t} = e^{-t} \]

  4. Résoudre pour \( C(t) \) :

    5. \[ C'(t) = e^{t} \implies C(t) = e^{t} + K \]

  5. La solution particulière est :

    6. \[ y_p(t) = (e^{t} + K)e^{-2t} = e^{-t} + Ke^{-2t} \]

  6. La solution générale est :

    7. \[ y(t) = y_h(t) + y_p(t) = Ce^{-2t} + e^{-t} \]

Exemple 2 : Équation différentielle linéaire avec second membre polynomial

Considérons l’équation différentielle suivante :

\[ y'(t) – y(t) = t \]

Étapes de résolution :

  1. Résoudre l’équation homogène associée :

    2. \[ y'(t) – y(t) = 0 \implies y_h(t) = Ce^{t} \]

  2. Appliquer la méthode de variation de la constante en supposant \( C = C(t) \) :

    3. \[ y_p(t) = C(t)e^{t} \]

  3. Calculer \( y_p'(t) \) et substituer dans l’équation non homogène :

    4. \[ y_p'(t) = C'(t)e^{t} + C(t)e^{t} \]

    \[ C'(t)e^{t} + C(t)e^{t} – C(t)e^{t} = t \implies C'(t)e^{t} = t \]

  4. Résoudre pour \( C(t) \) :

    5. \[ C'(t) = te^{-t} \implies C(t) = -te^{-t} – e^{-t} + K \]

  5. La solution particulière est :

    6. \[ y_p(t) = (-te^{-t} – e^{-t} + K)e^{t} = -t – 1 + Ke^{t} \]

  6. La solution générale est :

    7. \[ y(t) = y_h(t) + y_p(t) = Ce^{t} – t – 1 \]