Méthodes itératives (Jacobi, Gauss-Seidel) pour résoudre un système linéaire
Définitions et propriétés
Les méthodes itératives comme la méthode de Jacobi et la méthode de Gauss-Seidel sont des techniques efficaces pour résoudre des systèmes d’équations linéaires, particulièrement utiles pour des systèmes de grande taille.
Définitions
Méthode de Jacobi : C’est une méthode itérative où chaque itération met à jour toutes les variables indépendamment en utilisant les valeurs des variables de l’itération précédente.
Méthode de Gauss-Seidel : C’est une méthode itérative où chaque itération met à jour les variables en utilisant les valeurs des variables de l’itération précédente et les valeurs des variables mises à jour au cours de la même itération.
Propriétés
Les méthodes itératives convergent si le système est diagonal dominant ou si la matrice est positive définie.
Exemples sur les méthodes itératives (Jacobi, Gauss-Seidel)
Exemple 1 : Résoudre le système \( Ax = b \) où \( A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \) et \( b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) en utilisant la méthode de Jacobi.
Le système est :
\[ \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
En utilisant la méthode de Jacobi, nous avons :
\[ x_{k+1} = \frac{1 – y_k}{4} \]
\[ y_{k+1} = \frac{2 – x_{k+1}}{3} \]
En itérant ces équations, nous obtenons les valeurs approchées des solutions.
Exemple 2 : Résoudre le système \( Ax = b \) où \( A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \) et \( b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) en utilisant la méthode de Gauss-Seidel.
Le système est :
\[ \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
En utilisant la méthode de Gauss-Seidel, nous avons :
\[ x_{k+1} = \frac{1 – y_k}{4} \]
\[ y_{k+1} = \frac{2 – x_{k+1}}{3} \]
En itérant ces équations, nous obtenons les valeurs approchées des solutions.
Exemple 3 : Résoudre le système \( Ax = b \) où \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \) et \( b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) en utilisant les méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel.
Le système est :
\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]
En utilisant la méthode de Jacobi, nous avons :
\[ x_{k+1} = \frac{1 – y_k}{2} \]
\[ y_{k+1} = \frac{1 – x_{k+1}}{2} \]
En utilisant la méthode de Gauss-Seidel, nous avons :
\[ x_{k+1} = \frac{1 – y_k}{2} \]
\[ y_{k+1} = \frac{1 – x_{k+1}}{2} \]
En itérant ces équations, nous obtenons les valeurs approchées des solutions.