Présentation des nombres complexes
Les nombres complexes sont une extension des nombres réels, contenant un nombre spécial appelé unité imaginaire, noté \( i \), et qui vérifie la propriété \( i^2 = -1 \).
Définition: Un nombre complexe \( z \) est un nombre qui peut s’écrire sous la forme \( z = a + bi \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels. \( a \) est appelé la partie réelle de \( z \), notée \( \text{Re}(z) \), et \( b \) est appelé la partie imaginaire de \(z\), notée\( \text{Im}(z) \).
L’ensemble des nombres complexes est noté \( \mathbb{C} \). Chaque nombre réel peut être considéré comme un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle (par exemple, \( 5 = 5 + 0i \)).
Proposition: L’addition et la multiplication des nombres complexes se font de la manière suivante :
Si \( z = a + bi \) et \( z’ = c + di \), alors
\[ z + z’ = (a + c) + (b + d)i \]
\[ z \cdot z’ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
Ces règles découlent des règles de calcul habituelles et de la propriété \( i^2 = -1 \).
Module d’un nombre complexe
Le module d’un nombre complexe représente sa distance par rapport à l’origine dans le plan complexe.
Définition: Le module d’un nombre complexe \( z = a + bi \) est le nombre réel positif noté \( |z| \) défini par :
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Le module généralise la notion de valeur absolue pour les nombres réels.
Propriétés: Pour tous nombres complexes \( z \) et \( z’ \):
\begin{align}
&\lvert z \rvert = 0 \iff z = 0, \\
&\lvert z \cdot w \rvert = \lvert z \rvert \cdot \lvert w \rvert, \\
&\lvert z + w \rvert \leq \lvert z \rvert + \lvert w \rvert .
\end{align}
si \(z’\neq 0\) alors \(\left|\frac{z}{z’}\right| = \frac{|z|}{|z’|}\).
Ces propriétés sont fondamentales pour manipuler les modules de nombres complexes.
Le plan complexe
Le plan complexe, aussi appelé plan d’Argand-Cauchy, fournit une représentation géométrique des nombres complexes.
Définition: Le plan complexe est un plan muni d’un repère orthonormé direct \( (O; \vec{u}, \vec{v}) \). À chaque nombre complexe \( z = a + bi \), on associe le point \( M \) de coordonnées \( (a, b) \). On dit que \( M \) est l’image de \( z \), et que \( z \) est l’affixe de \( M \).
L’axe des abscisses est appelé axe des réels, et l’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.
Proposition: La distance entre deux points \( A \) et \( B \) d’affixes respectives \( z_A \) et \( z_B \) dans le plan complexe est donnée par \( |z_B – z_A| \).
Cette proposition découle directement de la définition du module et de la distance euclidienne dans le plan.
Nombres complexes de module 1
Les nombres complexes de module 1 jouent un rôle important, notamment en trigonométrie.
Définition: L’ensemble des nombres complexes de module 1 est noté \( \mathbb{U} \).
\( \mathbb{U} \) correspond au cercle unité dans le plan complexe.
Proposition: Tout nombre complexe de module 1 peut s’écrire sous la forme \( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \), où \( \theta \) est un nombre réel.
Cette forme est appelée forme trigonométrique ou forme exponentielle.
Formules
Il existe des formules pour les relations trigonométriques.
Proposition: \(e^{i\theta} = cos(\theta)+isin(\theta)\)
C’est la formule d’Euler.
Théorème: \(cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\) et \(sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\)
Il s’agit des formules d’Euler.
Argument
L’argument donne l’angle.
Définition: Soit \(z\) un complexe non nul, on appelle argument de z, noté arg(z) toute mesure \(\theta\) de l’angle \((\vec{u},\vec{OM})\)
Où M est l’image de z.
Proposition :
Soient \( z \) et \( z’ \) deux nombres complexes non nuls :
\[
\arg(zz’) = \arg(z) + \arg(z’)
\]
\[
\arg\left(\frac{z}{z’}\right) = \arg(z) – \arg(z’)
\]
Les égalités sont modulo 2\(\pi\).
Équations du second degré
Les équations du second degré à coefficients complexes ont toujours des solutions.
Théorème: Soit l’équation \( az^2 + bz + c = 0 \), où \( a, b, \) et \( c \) sont des nombres complexes et \( a \ne 0 \). Le discriminant de cette équation est \( \Delta = b^2 – 4ac \). Si \( \Delta = 0 \), l’équation a une unique solution (double) : \( z = -\frac{b}{2a} \). Si \( \Delta \ne 0 \), l’équation a deux solutions distinctes : \[ z_1 = \frac{-b + \delta}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b – \delta}{2a} \] où \( \delta \) est une racine carrée complexe de \( \Delta \) (c’est-à-dire \( \delta^2 = \Delta \)).
Contrairement aux équations à coefficients réels, il n’y a pas de distinction de cas selon le signe de \( \Delta \) car tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées.
Proposition: Soit \( \Delta \) un nombre complexe non nul. Alors il existe deux nombres complexes opposés \(\delta\) et \(-\delta\), tels que \( \delta^2=(-\delta)^2= \Delta \). Si \(\Delta = x+iy\) avec x et y réels, alors on peut choisir :
\[ \delta = \sqrt{\frac{x + |\Delta|}{2}} + i \cdot \text{signe}(y) \cdot \sqrt{\frac{-x + |\Delta|}{2}} \]
Où signe(y) vaut 1 si y est positif, -1 si y est négatif et 0 si y est nul.
Racines n-ièmes
Les racines n-ièmes généralisent la notion de racine carrée.
Définition: Soit \( n \) un entier naturel non nul et \( a \) un nombre complexe. Une racine n-ième de \( a \) est un nombre complexe \( z \) tel que \( z^n = a \).
Si \(a=0\), la seule racine est \(0\).
Théorème: Soit \( a = r e^{i\theta} \) un nombre complexe non nul écrit sous forme exponentielle (avec \( r > 0 \)). Alors \( a \) possède exactement \( n \) racines n-ièmes distinctes, données par :
\[ z_k = \sqrt[n]{r} e^{i(\frac{\theta + 2k\pi}{n})} \]
où \( k \) est un entier compris entre \( 0 \) et \( n-1 \).
Ces racines sont les sommets d’un polygone régulier à \( n \) côtés inscrit dans le cercle de rayon \( \sqrt[n]{r} \) centré à l’origine.
Exponentielle complexe
L’exponentielle complexe étend la fonction exponentielle réelle.
Définition: Pour tout nombre complexe \( z = a + bi \), on définit l’exponentielle complexe de \( z \), notée \( e^z \) ou \( \exp(z) \), par :
\[ e^z = e^{a+bi} = e^a (\cos(b) + i\sin(b)) \]
Cette définition coïncide avec l’exponentielle réelle lorsque \( z \) est réel (c’est-à-dire \( b = 0 \)).
Propriétés :
Pour tous nombres complexes \( z \) et \( z’ \) :
- \( e^{z+z’} = e^z \cdot e^{z’} \)
- \( e^0 = 1 \)
- \( (e^z)’ = e^z \) (où \( (e^z)’ \) désigne la dérivée de \( e^z \) par rapport à \( z \))
La dérivée est au sens complexe.
Similitudes directes
Les similitudes directes sont des transformations du plan complexe.
Définition: Une similitude directe du plan complexe est une transformation qui conserve les angles orientés et multiplie les distances par un facteur constant strictement positif appelé rapport.
Les translations, rotations et homothéties sont des similitudes directes.
Théorème: Toute similitude directe du plan complexe a une expression complexe de la forme \( z’ = az + b \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres complexes, et \( a \ne 0 \). Le rapport de la similitude est \( |a| \), et l’angle de la similitude est \( \text{arg}(a) \).
Réciproquement, toute transformation d’expression complexe \( z’ = az + b \) avec \(a \ne 0\) est une similitude directe.
