Période d’une fonction
En mathématiques, la période d’une fonction est la plus petite valeur positive \( T \) telle que la fonction se répète à intervalles réguliers. Formellement, une fonction \( f \) est dite périodique de période \( T \) si pour tout \( x \) dans son domaine :
\[ f(x + T) = f(x) \]Les fonctions périodiques sont omniprésentes en mathématiques, en physique et en ingénierie, notamment dans l’étude des ondes et des oscillations. Voici quelques propriétés importantes :
- La période \( T \) est toujours un nombre positif.
- Si \( f \) est périodique de période \( T \), alors elle est également périodique de période \( nT \) pour tout entier \( n \).
- Les fonctions trigonométriques comme \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \) sont des exemples classiques de fonctions périodiques.
Exemples sur Période d’une fonction
Exemple 1 : Fonction sinus \( f(x) = \sin(x) \)
La fonction \( f(x) = \sin(x) \) est périodique de période \( 2\pi \). En effet, pour tout \( x \) :
\[ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) \]Ainsi, la période de \( \sin(x) \) est \( 2\pi \).
Exemple 2 : Fonction cosinus \( f(x) = \cos(x) \)
La fonction \( f(x) = \cos(x) \) est également périodique de période \( 2\pi \). Pour tout \( x \) :
\[ \cos(x + 2\pi) = \cos(x) \]Ainsi, la période de \( \cos(x) \) est \( 2\pi \).
Exemple 3 : Fonction tangente \( f(x) = \tan(x) \)
La fonction \( f(x) = \tan(x) \) est périodique de période \( \pi \). Pour tout \( x \) où elle est définie :
\[ \tan(x + \pi) = \tan(x) \]Ainsi, la période de \( \tan(x) \) est \( \pi \).