Points critiques

Les points critiques d’une fonction différentiable

f : U \subseteq R^{n} \to R

sont les points où le gradient s’annule :

\nabla f (x) = \vec{0}

Caractéristiques principales :

Un point critique peut être :
- Un minimum local
- Un maximum local
- Un point selle
La matrice hessienne $H_{f} (x)$ permet de classifier ces points : $H_{f} (x) = (\begin{matrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} & \dots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^{2}} \end{matrix})$
Classification selon les valeurs propres $λ_{i}$ :
- Si $λ_{i} > 0$ : minimum local
- Si $λ_{i} < 0$ : maximum local
- Si valeurs de signes différents : point selle

Exemples sur les points critiques

Exemple 1 : Soit

f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 x y

a) Trouver les points critiques :

{\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 2 y = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 2 y - 2 x = 0 \end{cases}

Solution :

(0, 0)

b) Calculer la matrice hessienne :

H_{f} = (\begin{matrix} 2 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{matrix})

c) Déterminer les valeurs propres :

λ_{1} = 4, λ_{2} = 0

d) Conclusion : Point selle dégénéré

Exemple 2 : Soit

f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2}

a) Points critiques :

{\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 4 y = 0 \end{cases}

Solution :

(0, 0)

b) Matrice hessienne :

H_{f} = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix})

c) Valeurs propres :

λ_{1} = 2, λ_{2} = 4

d) Conclusion : Minimum local strict