Polynômes de Tchebychev
Définitions et propriétés
Les polynômes de Tchebychev sont des polynômes orthogonaux qui jouent un rôle crucial en analyse et en approximation. Ils sont définis par des relations de récurrence et possèdent des propriétés remarquables.
Définitions
Les polynômes de Tchebychev de première espèce, notés \( T_n(x) \), sont définis par :
\[ T_n(x) = \cos(n \arccos(x)) \quad \text{pour} \quad x \in [-1, 1] \]
Propriétés
Les polynômes de Tchebychev possèdent plusieurs propriétés importantes :
- Orthogonalité : Les polynômes de Tchebychev forment une base orthogonale pour l’espace des polynômes sur l’intervalle \([-1, 1]\) avec le poids \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \).
- Symétrie : \( T_n(-x) = (-1)^n T_n(x) \).
- Relation de récurrence : \( T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) – T_{n-1}(x) \) avec \( T_0(x) = 1 \) et \( T_1(x) = x \).
Exemples sur les polynômes de Tchebychev
Exemple 1 : Calculer \( T_3(x) \) en utilisant la définition.
En utilisant la définition des polynômes de Tchebychev :
\[ T_3(x) = \cos(3 \arccos(x)) \]
En utilisant l’identité trigonométrique \( \cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) – 3\cos(\theta) \) :
\[ T_3(x) = 4\cos^3(\arccos(x)) – 3\cos(\arccos(x)) \]
\[ T_3(x) = 4x^3 – 3x \]
Exemple 2 : Vérifier la relation de récurrence pour \( n = 2 \).
Les polynômes de Tchebychev pour \( n = 0, 1, 2 \) sont :
\[ T_0(x) = 1 \]
\[ T_1(x) = x \]
\[ T_2(x) = 2x^2 – 1 \]
Vérifions la relation de récurrence \( T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) – T_{n-1}(x) \) pour \( n = 1 \) :
\[ T_2(x) = 2xT_1(x) – T_0(x) \]
\[ 2x^2 – 1 = 2x^2 – 1 \]
La relation est vérifiée.
Exemple 3 : Utiliser les polynômes de Tchebychev pour approximer la fonction \( f(x) = \sin(x) \) sur l’intervalle \([-1, 1]\).
Pour approximer \( f(x) = \sin(x) \), nous utilisons les coefficients de Fourier de Tchebychev :
\[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{1} \sin(x) T_n(x) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]
Les premiers coefficients sont calculés comme suit :
\[ a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{1} \sin(x) \, dx = 0 \]
\[ a_1 = \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{1} \sin(x) x \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx 0 \]
\[ a_2 = \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{1} \sin(x) (2x^2 – 1) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx -\frac{4}{\pi} \]
L’approximation de \( \sin(x) \) par les polynômes de Tchebychev est alors :
\[ \sin(x) \approx -\frac{4}{\pi} T_2(x) \]