Cet article porte sur la Poussée d’Archimède (liquides et gaz), un principe fondamental de la mécanique des fluides qui explique la flottabilité des objets immergés dans un fluide, que ce soit un liquide ou un gaz. Ce concept est essentiel pour comprendre une grande variété de phénomènes, des ballons à air chaud aux sous-marins.
Poussée d’Archimède (liquides et gaz)
La Poussée d’Archimède stipule que tout corps plongé entièrement ou partiellement dans un fluide (liquide ou gaz) au repos, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d’Archimède.
Mathématiquement, la poussée d’Archimède (\(F_A\)) est exprimée par :
\( F_A = \rho_{fluide} \cdot V_{immergé} \cdot g \)
où :
- \( \rho_{fluide} \) est la masse volumique du fluide (en kg/m³).
- \( V_{immergé} \) est le volume du corps immergé dans le fluide (en m³). Si le corps est complètement immergé, \(V_{immergé}\) est égal au volume total du corps. Si le corps est partiellement immergé, \(V_{immergé}\) est le volume de la partie immergée.
- \( g \) est l’accélération due à la gravité (environ 9.81 m/s² sur Terre).
Points importants à retenir:
- Direction : La poussée d’Archimède est toujours dirigée verticalement vers le haut.
- Point d’application : Le point d’application de la poussée d’Archimède est le centre de poussée, qui coïncide avec le centre de gravité du volume de fluide déplacé. Si le corps est homogène et complètement immergé, le centre de poussée coïncide avec le centre de gravité du corps.
- Flottabilité :
- Si \(F_A > \) poids de l’objet : L’objet flotte.
- Si \(F_A = \) poids de l’objet : L’objet est en équilibre (flottant entre deux eaux, ou complètement immergé et immobile).
- Si \(F_A < \) poids de l'objet : L'objet coule.
- Masse volumique apparente: Lorsqu’un objet est immergé dans un fluide, son poids apparent est réduit par la poussée d’Archimède. Le poids apparent (\(P_{apparent}\)) est donné par : \(P_{apparent} = P_{réel} – F_A\), où \(P_{réel}\) est le poids réel de l’objet.
Exemples sur Poussée d’Archimède (liquides et gaz)
Exemple 1 : Flottabilité d’un cube
Un cube en bois de côté \(a = 10 \ cm\) et de masse volumique \(\rho_{bois} = 700 \ kg/m^3\) est placé dans de l’eau (\(\rho_{eau} = 1000 \ kg/m^3\)). Le cube flotte-t-il ? Si oui, quelle fraction du volume du cube est immergée ?
Solution :
Calculons d’abord le volume du cube : \(V_{cube} = a^3 = (0.10 \ m)^3 = 0.001 \ m^3\)
Calculons la masse du cube : \(m_{bois} = \rho_{bois} \cdot V_{cube} = 700 \ kg/m^3 \cdot 0.001 \ m^3 = 0.7 \ kg\)
Calculons le poids du cube : \(P_{bois} = m_{bois} \cdot g = 0.7 \ kg \cdot 9.81 \ m/s^2 = 6.867 \ N\)
Le cube flotte si la poussée d’Archimède maximale (lorsque le cube est complètement immergé) est supérieure ou égale au poids du cube.
Poussée d’Archimède maximale : \(F_{A,max} = \rho_{eau} \cdot V_{cube} \cdot g = 1000 \ kg/m^3 \cdot 0.001 \ m^3 \cdot 9.81 \ m/s^2 = 9.81 \ N\)
Puisque \(F_{A,max} > P_{bois}\), le cube flotte.
Pour trouver la fraction immergée, on utilise le principe d’équilibre à la flottaison : \(F_A = P_{bois}\)
\( \rho_{eau} \cdot V_{immergé} \cdot g = \rho_{bois} \cdot V_{cube} \cdot g \)
On simplifie par \(g\) et on isole la fraction \( \frac{V_{immergé}}{V_{cube}} \) :
\( \frac{V_{immergé}}{V_{cube}} = \frac{\rho_{bois}}{\rho_{eau}} = \frac{700 \ kg/m^3}{1000 \ kg/m^3} = 0.7 \)
Donc, 70% du volume du cube est immergé.
Exemple 2 : Ballon à air chaud
Un ballon à air chaud a un volume total de \(V = 2800 \ m^3\). L’air à l’intérieur du ballon est chauffé à une température \(T_{chaud} = 100^\circ C\), ce qui lui donne une masse volumique \(\rho_{chaud} = 0.946 \ kg/m^3\). La masse volumique de l’air ambiant à \(T_{froid} = 20^\circ C\) est \(\rho_{froid} = 1.20 \ kg/m^3\). La masse de l’enveloppe du ballon, du panier et des passagers est de \(m_{total} = 500 \ kg\). Quelle est la force ascensionnelle nette du ballon ?
Solution :
La poussée d’Archimède est égale au poids de l’air froid déplacé : \(F_A = \rho_{froid} \cdot V \cdot g = 1.20 \ kg/m^3 \cdot 2800 \ m^3 \cdot 9.81 \ m/s^2 = 32961.6 \ N\)
Le poids total du ballon est la somme du poids de l’air chaud et du poids de l’enveloppe, du panier, et des passagers : \(P_{total} = (\rho_{chaud} \cdot V \cdot g) + (m_{total} \cdot g)\) \( P_{total} = (0.946 \ kg/m³ \cdot 2800 \ m^3 \cdot 9.81 \ m/s²) + (500 \ kg \cdot 9.81 \ m/s²) \) \( P_{total} = 25973.88 N + 4905 N = 30878.88 N \)
La force ascensionnelle nette est la différence entre la poussée d’Archimède et le poids total: \( F_{nette} = F_A – P_{total} = 32961.6 \ N – 30878.88 \ N = 2082.72 \ N\)