Primitives usuelles
Les primitives usuelles sont essentielles pour le calcul intégral. Voici les principales formules :
\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \]
\[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \]
\[ \int e^x dx = e^x + C \]
\[ \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \]
\[ \int \cos(x) dx = \sin(x) + C \]
\[ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C \]
\[ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C \]
Points importants à retenir :
– La constante d’intégration C est toujours présente
– Les primitives sont définies à une constante près
– La dérivée d’une primitive redonne la fonction initiale
Exemples sur Primitives usuelles
Exemple 1 : Calculons \( \int (2x^3 + e^x – \sin(x)) dx \) Solution : \[ \int 2x^3 dx = 2\int x^3 dx = 2\cdot\frac{x^4}{4} + C_1 = \frac{x^4}{2} + C_1 \] \[ \int e^x dx = e^x + C_2 \] \[ \int -\sin(x) dx = \cos(x) + C_3 \] Donc : \[ \int (2x^3 + e^x – \sin(x)) dx = \frac{x^4}{2} + e^x + \cos(x) + C \]
Exemple 2 : Déterminons \( \int \frac{x^2+1}{x} dx \) Solution : \[ \int \frac{x^2+1}{x} dx = \int (x + \frac{1}{x}) dx = \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C \]
Exemple 3 : Calculons \( \int (\sin^2(x) + \cos^2(x)) dx \) Solution : Sachant que \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), on a : \[ \int (\sin^2(x) + \cos^2(x)) dx = \int 1 dx = x + C \]