Le problème à deux corps constitue un modèle fondamental en mécanique classique et en physique gravitationnelle, étudiant le mouvement de deux corps ponctuels interagissant uniquement entre eux via une force centrale, typiquement la gravitation.
Problème à deux corps
Dans sa formulation classique, le problème à deux corps considère deux masses ponctuelles, \(m_1\) et \(m_2\), dont les positions sont données par les vecteurs \(\vec{r}_1\) et \(\vec{r}_2\) respectivement. L’interaction entre ces masses est décrite par une force centrale, c’est-à-dire une force dont la direction est toujours le long de la ligne joignant les deux corps, et dont l’amplitude ne dépend que de la distance \(r = |\vec{r}_1 – \vec{r}_2|\) entre eux. La force gravitationnelle est l’exemple paradigmatique de cette interaction, où la force exercée par la masse 2 sur la masse 1 est donnée par la loi de la gravitation universelle de Newton :
\[ \vec{F}_{2 \rightarrow 1} = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r} \]
où \(G\) est la constante gravitationnelle universelle et \(\hat{r} = \frac{\vec{r}_1 – \vec{r}_2}{|\vec{r}_1 – \vec{r}_2|}\) est le vecteur unitaire pointant de la masse 2 vers la masse 1. Une force égale et opposée \(\vec{F}_{1 \rightarrow 2} = – \vec{F}_{2 \rightarrow 1}\) agit sur la masse 2, conformément au principe de l’action et de la réaction.
La résolution du problème à deux corps est grandement simplifiée par le passage au référentiel du centre de masse et l’utilisation des coordonnées relatives. On définit le vecteur position relative \(\vec{r} = \vec{r}_1 – \vec{r}_2\) et la masse réduite \(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\). Le mouvement relatif des deux corps peut alors être décrit par une équation équivalente à celle d’un problème à un corps, où une masse fictive \(\mu\) se déplace sous l’influence de la force centrale. L’équation du mouvement relatif devient :
\[ \mu \ddot{\vec{r}} = \vec{F}(\vec{r}) \]
Pour la force gravitationnelle, cette équation peut être résolue analytiquement, menant aux célèbres lois de Kepler décrivant les orbites planétaires : les orbites sont elliptiques (ou hyperboliques ou paraboliques en général), la vitesse aréolaire est constante, et le carré de la période orbitale est proportionnel au cube du demi-grand axe.
Le problème à deux corps est une approximation cruciale dans de nombreux domaines de la physique, allant de l’astrophysique (mouvement des planètes autour du soleil, systèmes binaires d’étoiles) à la physique atomique (atome d’hydrogène, en première approximation). Bien que le problème à \(N\) corps avec \(N \ge 3\) n’admette pas de solution analytique générale, le problème à deux corps fournit une base essentielle pour comprendre et modéliser les interactions gravitationnelles et centrales.
Exemples sur Problème à deux corps
Illustration 1: Représentation d’un problème à deux corps gravitationnel: une petite masse \(m\) (planète) orbitant autour d’une masse plus grande \(M\) (étoile) suivant une trajectoire elliptique. La vitesse orbitale \(\vec{v}\) est tangente à la trajectoire.
Exemple d’exercice:
Considérons un système Terre-Lune, approximé comme un problème à deux corps gravitationnel. La masse de la Terre est \(M_T = 5.97 \times 10^{24}\) kg et la masse de la Lune est \(M_L = 7.35 \times 10^{22}\) kg. La distance moyenne Terre-Lune est \(r \approx 3.84 \times 10^8\) m.
- Calculer la masse réduite \(\mu\) du système Terre-Lune.
- Estimer la période orbitale de la Lune autour de la Terre, en utilisant l’approximation que l’orbite est circulaire.
- Comparer cette période avec la période lunaire observée (environ 27.3 jours). Discuter les éventuelles sources d’écart.
Solution:
- La masse réduite \(\mu\) est donnée par \(\mu = \frac{M_T M_L}{M_T + M_L} = \frac{(5.97 \times 10^{24} \text{ kg}) \times (7.35 \times 10^{22} \text{ kg})}{(5.97 \times 10^{24} \text{ kg}) + (7.35 \times 10^{22} \text{ kg})} \approx 7.26 \times 10^{22} \text{ kg}\). On remarque que \(\mu\) est très proche de la masse de la Lune, car \(M_L << M_T\).
- Pour une orbite circulaire, la force gravitationnelle fournit la force centripète : \(G \frac{M_T M_L}{r^2} = M_L \frac{v^2}{r}\). La vitesse orbitale est \(v = \frac{2\pi r}{T}\), où \(T\) est la période orbitale. En substituant et réarrangeant, on obtient \(T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G M_T}\). Donc \(T = \sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{G M_T}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 (3.84 \times 10^8 \text{ m})^3}{(6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2) \times (5.97 \times 10^{24} \text{ kg})}} \approx 2.36 \times 10^6 \text{ s} \approx 27.3 \text{ jours}\).
- La période calculée (27.3 jours) est très proche de la période lunaire observée. L’approximation du problème à deux corps gravitationnel avec une orbite circulaire est donc raisonnable pour une première estimation. Les écarts peuvent provenir de l’approximation circulaire de l’orbite lunaire (qui est en réalité légèrement elliptique), des perturbations gravitationnelles dues au Soleil et aux autres planètes, et du fait que la Terre et la Lune ne sont pas exactement des masses ponctuelles.
Illustration 2: Les deux masses du problème à deux corps tournant autour de leur centre de masse (CM). Le CM est le point fixe du système dans un référentiel inertiel (en absence de forces extérieures).
Exemple d’exercice:
Deux étoiles de masses \(m_1 = 3M_\odot\) et \(m_2 = M_\odot\) (où \(M_\odot\) est la masse solaire) forment un système binaire. Leur séparation est \(d = 1 \text{ UA}\) (unité astronomique). Où se situe le centre de masse du système par rapport à l’étoile la plus massive ?
- Calculer la position du centre de masse du système binaire, en prenant l’étoile de masse \(m_1\) comme origine du repère (x=0).
- Si les deux étoiles orbitent circulairement autour de leur centre de masse, quel est le rayon de l’orbite de chaque étoile autour du centre de masse?
Solution:
- La position du centre de masse \(x_{CM}\) pour un système de deux particules sur l’axe x est donnée par \(x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\). En prenant l’étoile \(m_1\) à l’origine, \(x_1 = 0\) et \(x_2 = d = 1 \text{ UA}\). Alors \(x_{CM} = \frac{(3M_\odot) \times 0 + (M_\odot) \times (1 \text{ UA})}{3M_\odot + M_\odot} = \frac{M_\odot \text{ UA}}{4M_\odot} = 0.25 \text{ UA}\). Le centre de masse est situé à 0.25 UA de l’étoile la plus massive, le long de la ligne joignant les deux étoiles, entre les deux étoiles.
- Dans un système binaire, les deux étoiles orbitent autour du centre de masse. Le rayon de l’orbite de chaque étoile autour du CM est sa distance au CM. Pour l’étoile \(m_1\), le rayon de l’orbite \(r_1 = |x_{CM} – x_1| = |0.25 \text{ UA} – 0| = 0.25 \text{ UA}\). Pour l’étoile \(m_2\), le rayon de l’orbite \(r_2 = |x_2 – x_{CM}| = |1 \text{ UA} – 0.25 \text{ UA}| = 0.75 \text{ UA}\). On vérifie que \(r_1 + r_2 = 0.25 \text{ UA} + 0.75 \text{ UA} = 1 \text{ UA} = d\), la séparation entre les étoiles. L’étoile la plus massive a une orbite plus petite et plus proche du centre de masse.