Problème de Cauchy
Définitions et Théorèmes
Le Problème de Cauchy est un problème mathématique qui consiste à trouver une fonction satisfaisant une équation différentielle donnée, ainsi qu’une condition initiale spécifiée. Formellement, pour une équation différentielle ordinaire (EDO) du premier ordre, le problème de Cauchy s’écrit :
\[ \begin{cases} y'(t) = f(t, y(t)) \\ y(t_0) = y_0 \end{cases} \]
où \( f \) est une fonction continue, \( t_0 \) est un point initial, et \( y_0 \) est la valeur initiale de la solution.
Théorème d’existence et d’unicité (Cauchy-Lipschitz) : Si \( f \) est continue et localement lipschitzienne par rapport à \( y \), alors le problème de Cauchy admet une unique solution locale.
Exemples sur le Problème de Cauchy
Exemple 1 : Équation différentielle linéaire
Considérons l’équation différentielle linéaire suivante :
\[ y'(t) = -2y(t), \quad y(0) = 1 \]
La solution générale de cette équation est :
\[ y(t) = Ce^{-2t} \]
En appliquant la condition initiale \( y(0) = 1 \), on trouve \( C = 1 \). Ainsi, la solution unique est :
\[ y(t) = e^{-2t} \]
Exemple 2 : Équation différentielle non linéaire
Considérons l'équation différentielle non linéaire suivante :
\[ y'(t) = y(t)^2, \quad y(0) = 1 \]
La solution générale de cette équation est :
\[ y(t) = \frac{1}{C - t} \]
En appliquant la condition initiale \( y(0) = 1 \), on trouve \( C = 1 \). Ainsi, la solution unique est :
\[ y(t) = \frac{1}{1 - t} \]
Remarque : Cette solution n'est définie que pour \( t < 1 \).