L’étude des racines n-ièmes d’un nombre complexe est un sujet important en analyse complexe, avec des applications dans divers domaines comme la résolution d’équations polynomiales et l’analyse de Fourier. Cet article présente la méthode de calcul de ces racines et l’illustre par des exemples.
Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Soit \(z\) un nombre complexe non nul et \(n\) un entier naturel non nul. On appelle racine n-ième de \(z\) tout nombre complexe \(w\) tel que \(w^n = z\).
Pour trouver les racines n-ièmes de \(z\), il est plus pratique d’utiliser la forme exponentielle. Supposons que \(z = re^{i\theta}\), où \(r = |z|\) est le module de \(z\) et \(\theta\) est son argument. Alors les racines n-ièmes de \(z\) sont données par la formule :
\(w_k = \sqrt[n]{r}e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)}\)
où \(k = 0, 1, 2, …, n-1\).
Il y a donc exactement \(n\) racines n-ièmes distinctes. Géométriquement, ces racines sont les sommets d’un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans un cercle de rayon \(\sqrt[n]{r}\) centré à l’origine du plan complexe.
Exemples sur Racines n-ièmes d’un nombre complexe
Exemple 1 :
Trouver les racines cubiques de \(z = 1\).
Solution :
On a \(z = 1 = 1e^{i(0)}\), donc \(r = 1\) et \(\theta = 0\). On cherche les racines cubiques, donc \(n = 3\).
Les racines sont données par :
\(w_k = \sqrt[3]{1}e^{i\left(\frac{0 + 2k\pi}{3}\right)} = e^{i\frac{2k\pi}{3}}\)
Pour \(k = 0\) : \(w_0 = e^{i(0)} = 1\)
Pour \(k = 1\) : \(w_1 = e^{i\frac{2\pi}{3}} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Pour \(k = 2\) : \(w_2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Les racines cubiques de 1 sont \(1\), \(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(-\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Exemple 2 :
Trouver les racines quatrièmes de \(z = -1\).
Solution :
On a \(z = -1 = 1e^{i\pi}\), donc \(r = 1\) et \(\theta = \pi\). On cherche les racines quatrièmes, donc \(n = 4\).
Les racines sont données par :
\(w_k = \sqrt[4]{1}e^{i\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right)} = e^{i\frac{(2k+1)\pi}{4}}\)
Pour \(k = 0\) : \(w_0 = e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Pour \(k = 1\) : \(w_1 = e^{i\frac{3\pi}{4}} = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Pour \(k = 2\) : \(w_2 = e^{i\frac{5\pi}{4}} = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} – i\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Pour \(k = 3\) : \(w_3 = e^{i\frac{7\pi}{4}} = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} – i\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Les racines quatrièmes de -1 sont \(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(-\frac{\sqrt{2}}{2} – i\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\frac{\sqrt{2}}{2} – i\frac{\sqrt{2}}{2}\).