Le raisonnement par contradiction représente une technique puissante de démonstration mathématique permettant de prouver une proposition en supposant son contraire et en aboutissant à une impossibilité logique.
Raisonnement par contradiction
Le raisonnement par contradiction consiste à supposer la négation d’une proposition \( P \), puis à démontrer que cette hypothèse conduit à une contradiction logique.
Étapes fondamentales :
- Hypothèse : Supposer \( \neg P \) (la négation de la proposition)
- Démonstration : Montrer que cette hypothèse mène à une contradiction
- Conclusion : Affirmer que \( P \) est vraie
Exemples sur raisonnement par contradiction
Exemple 1 : Irrationalité de \( \sqrt{2} \)
Démontrer que \( \sqrt{2} \) est irrationnel.
Preuve par contradiction :
Supposons \( \sqrt{2} \) rationnel, alors \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \) où \( a, b \) sont des entiers premiers entre eux.
Alors \( 2 = \frac{a^2}{b^2} \)
\( 2b^2 = a^2 \)
Cela impliquerait que \( a^2 \) est pair, donc \( a \) est pair.
Mais cette hypothèse conduit à une contradiction, prouvant que \( \sqrt{2} \) est irrationnel.
Exemple 2 : Infinité des nombres premiers
Démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Preuve par contradiction :
Supposons qu’il existe un nombre fini de nombres premiers.
Considérons le produit de tous les premiers : \( P = p_1 \times p_2 \times … \times p_n + 1 \)
\( P \) sera soit premier, soit divisible par un premier non inclus dans la liste initiale.
Cette contradiction prouve l’infinité des nombres premiers.
Exemple 3 : Inégalité triangulaire
Démontrer que pour tout triangle, la somme de deux côtés est toujours supérieure au troisième.
Preuve par contradiction :
Supposons qu’un triangle existe où \( a + b \leq c \).
Géométriquement, cela signifierait que deux côtés ne peuvent pas former un triangle.
Cette hypothèse conduit à une impossibilité géométrique, prouvant l’inégalité triangulaire.