Raisonnement par contre-exemple

Le raisonnement par contre-exemple constitue une méthode puissante en mathématiques pour réfuter des propositions générales en démontrant leur fausseté par un unique cas spécifique.

Raisonnement par contre-exemple

Exemples sur raisonnement par contre-exemple

Exemple 1 : Propriété de divisibilité

Réfuter l’affirmation : « Tout nombre premier est impair ».

Contre-exemple : Le nombre 2 est un nombre premier et pair.

Démonstration : $$2=\text{premier}\wedge 2=\text{pair}⟹\text{la proposition est fausse}$$

Exemple 2 : Inégalité mathématique

Réfuter : « Pour tout $x>0$, $\sqrt{x^2}=x$ ».

Contre-exemple : Considérons $x=-5$.

Calcul : $$\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5\ne -5$$

Exemple 3 : Propriété de convergence

Réfuter : « Toute suite croissante converge ».

Contre-exemple : La suite $u_n=n$ est croissante mais diverge vers l’infini.

Démonstration : $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=\mathrm{\infty }⟹\text{non convergence}$$