Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est une technique fondamentale en mathématiques, particulièrement utile au niveau supérieur pour démontrer des propriétés valables pour tous les nombres entiers naturels à partir d’un certain rang.

Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence, aussi appelé induction mathématique, est une méthode de démonstration mathématique utilisée pour prouver qu’une propriété P(n) est vraie pour tous les nombres entiers naturels n supérieurs ou égaux à un certain entier n₀.

Le principe repose sur deux étapes clés :

Initialisation : On montre que la propriété P(n₀) est vraie pour le premier entier n₀ (souvent n₀ = 0 ou n₀ = 1).
Hérédité : On suppose que la propriété P(k) est vraie pour un entier k ≥ n₀ quelconque (c’est l’hypothèse de récurrence), et on montre alors que la propriété P(k+1) est également vraie.

Si ces deux étapes sont validées, le principe du raisonnement par récurrence garantit que la propriété P(n) est vraie pour tous les entiers n ≥ n₀.

Exemples sur Raisonnement par récurrence

Exemple 1 : Somme des n premiers entiers naturels

Montrons par raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1, la somme des n premiers entiers naturels est donnée par la formule :

\( 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \)

Démonstration :

Initialisation : Pour n = 1, la formule donne \( \frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \times 2}{2} = 1 \). La somme des 1 premiers entiers est bien 1. La propriété est donc vraie pour n = 1.
Hérédité : Supposons que la propriété est vraie pour un entier k ≥ 1, c’est-à-dire que :
\( 1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2} \) (Hypothèse de récurrence)
Montrons que la propriété est vraie pour k+1, c’est-à-dire montrons que :
\( 1 + 2 + 3 + \cdots + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \)
Partons du membre de gauche :
\( 1 + 2 + 3 + \cdots + (k+1) = (1 + 2 + 3 + \cdots + k) + (k+1) \)
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on remplace la somme des k premiers entiers :
\( = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \)
Mettons au même dénominateur :
\( = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \)
Factorisons par (k+1) :
\( = \frac{(k+1)(k + 2)}{2} \)
On retrouve bien le membre de droite. Donc, si la propriété est vraie pour k, elle est vraie pour k+1.
Conclusion : Par le principe du raisonnement par récurrence, la formule \( 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \) est vraie pour tout entier naturel n ≥ 1.

Exemple 2 : Inégalité de Bernoulli

Démontrons par raisonnement par récurrence l’inégalité de Bernoulli : pour tout nombre réel x ≥ -1 et pour tout entier naturel n ≥ 0, on a :

\( (1 + x)^n \geq 1 + nx \)

Démonstration :

Initialisation : Pour n = 0, on a \( (1 + x)^0 = 1 \) et \( 1 + 0 \times x = 1 \). Donc \( 1 \geq 1 \), l’inégalité est vraie pour n = 0.
Hérédité : Supposons que l’inégalité est vraie pour un entier k ≥ 0, c’est-à-dire que :
\( (1 + x)^k \geq 1 + kx \) (Hypothèse de récurrence)
Montrons que l’inégalité est vraie pour k+1, c’est-à-dire montrons que :
\( (1 + x)^{k+1} \geq 1 + (k+1)x \)
Puisque x ≥ -1, on a 1 + x ≥ 0. Multiplions les deux membres de l’hypothèse de récurrence par (1 + x) (qui est positif ou nul, donc ne change pas le sens de l’inégalité) :
\( (1 + x)(1 + x)^k \geq (1 + x)(1 + kx) \)

\( (1 + x)^{k+1} \geq 1 + kx + x + kx^2 \)

\( (1 + x)^{k+1} \geq 1 + (k+1)x + kx^2 \)
Comme kx² ≥ 0, on a :
\( 1 + (k+1)x + kx^2 \geq 1 + (k+1)x \)
Donc par transitivité de l’inégalité :
\( (1 + x)^{k+1} \geq 1 + (k+1)x \)
Si l’inégalité est vraie pour k, elle est vraie pour k+1.
Conclusion : Par le principe du raisonnement par récurrence, l’inégalité de Bernoulli \( (1 + x)^n \geq 1 + nx \) est vraie pour tout nombre réel x ≥ -1 et pour tout entier naturel n ≥ 0.