Cet article présente les propriétés importantes des relations binaires : réflexivité, symétrie, antisymétrie et transitivité, des concepts clés en mathématiques de niveau supérieur.
Relation réflexive, symétrique, antisymétrique et transitive
Soit \(R\) une relation binaire sur un ensemble \(E\).
– \(R\) est réflexive si pour tout \(x \in E\), \(xRx\).
– \(R\) est symétrique si pour tous \(x, y \in E\), \(xRy \implies yRx\).
– \(R\) est antisymétrique si pour tous \(x, y \in E\), \((xRy \text{ et } yRx) \implies x = y\).
– \(R\) est transitive si pour tous \(x, y, z \in E\), \((xRy \text{ et } yRz) \implies xRz\).
Exemples sur « Relation réflexive, symétrique, antisymétrique et transitive »
1. Soit \(E = \mathbb{N}\) et \(R\) la relation « est inférieur ou égal à », notée \(\le\). \(R\) est réflexive, antisymétrique et transitive. Elle n’est pas symétrique.
2. Soit \(E\) l’ensemble des droites du plan et \(R\) la relation de parallélisme. \(R\) est réflexive, symétrique et transitive. Elle n’est pas antisymétrique (deux droites distinctes peuvent être parallèles).
3. Soit \(E = \{1, 2, 3\}\) et \(R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}\). \(R\) est réflexive et symétrique, mais ni antisymétrique ni transitive (on a \(1R2\) et \(2R1\) mais \(1 \ne 2\), et on a \(1R2\) et \(2R1\) mais pas \(1R1\) si on enlève les boucles réflexives).
4. Soit \(E\) un ensemble quelconque et \(R\) la relation vide (aucun élément n’est en relation avec aucun autre). \(R\) est symétrique et transitive, mais pas réflexive.
Ces propriétés permettent de classifier les relations et sont essentielles pour définir des structures mathématiques comme les ordres et les relations d’équivalence.