Résonance: fréquence propre, bande passante, surtension
Ce cours approfondi explore le phénomène de résonance, un concept crucial en physique et en ingénierie, notamment dans le contexte des circuits électriques et électroniques. Nous aborderons en détail la fréquence propre, la bande passante et la surtension associées à la résonance. La compréhension de la résonance est essentielle pour concevoir et analyser des systèmes oscillants, des filtres et d’autres dispositifs électroniques. Nous allons utiliser MathJax pour une présentation claire des équations.
Fréquence Propre
La fréquence propre, souvent notée \(f_0\) ou \(\omega_0\), est la fréquence à laquelle un système oscillant, comme un circuit RLC, a tendance à osciller naturellement lorsqu’il est perturbé. Elle dépend des caractéristiques physiques du système, telles que l’inductance (L) et la capacité (C) dans un circuit RLC.
\( \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \) (en radians par seconde)
\( f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \) (en Hertz)
Où :
- L est l’inductance en Henrys (H)
- C est la capacité en Farads (F)
À la fréquence propre, l’impédance du circuit est minimale (dans un circuit série) ou maximale (dans un circuit parallèle), ce qui entraîne un transfert d’énergie maximal entre la source et le système oscillant.
Exemple 1: Calcul de la fréquence propre
Un circuit RLC série possède une inductance de 10 mH et une capacité de 100 nF. Calculez la fréquence propre \(f_0\) en Hertz.
Solution: Nous utilisons la formule: \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \) En substituant les valeurs données: \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-3} \times 100 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-9}}} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-4.5}} \approx 50329 Hz \) La fréquence propre du circuit est d’environ 50.3 kHz.
Exemple 2: Impact des variations de L et C sur la fréquence propre
Un circuit résonant a une fréquence propre de 1 MHz avec L = 1 mH. Si la capacité est réduite de moitié, quelle est la nouvelle fréquence propre ?
Solution: Premièrement, trouvons la valeur initiale de C : \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \Rightarrow C = \frac{1}{(2\pi f_0)^2 L} = \frac{1}{(2\pi \times 10^6)^2 \times 10^{-3}} \approx 25.33 \text{ pF} \) Si la capacité est réduite de moitié, \( C’ = C/2 \approx 12.66 \text{ pF} \). La nouvelle fréquence propre est : \( f’_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L C’}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-3} \times 12.66 \times 10^{-12}}} \approx 1.414 \text{ MHz} \) La nouvelle fréquence propre est environ 1.414 MHz.
Bande Passante
La bande passante (BW) est une mesure de la gamme de fréquences autour de la fréquence propre sur laquelle un système résonant répond efficacement. Elle est généralement définie comme la différence entre les deux fréquences de coupure à -3 dB (ou demi-puissance) par rapport à la réponse maximale à la fréquence propre.
Pour un circuit RLC série, la bande passante est donnée par :
\( BW = f_2 – f_1 = \frac{R}{2\pi L} \) (en Hertz)
Où :
- R est la résistance en Ohms (Ω)
- L est l’inductance en Henrys (H)
Une bande passante étroite indique une sélectivité élevée, c’est-à-dire que le circuit répond fortement uniquement aux fréquences proches de la fréquence propre. Une bande passante large indique une sélectivité plus faible.
Exemple 3: Calcul de la bande passante et du facteur de qualité
Un circuit RLC série a une résistance de 5 Ω et une inductance de 2 mH. Calculez la bande passante et le facteur de qualité Q si la fréquence propre est de 100 kHz.
Solution: Calcul de la bande passante: \( BW = \frac{R}{2\pi L} = \frac{5}{2\pi \times 2 \times 10^{-3}} \approx 397.89 \text{ Hz} \) Calcul du facteur de qualité Q: \( Q = \frac{f_0}{BW} = \frac{100 \times 10^3}{397.89} \approx 251.32 \) La bande passante est d’environ 398 Hz et le facteur de qualité est d’environ 251.
Exemple 4: Influence de la résistance sur la bande passante
Un circuit RLC a L = 1 mH, C = 1 nF, et initialement R = 10 Ω. Si la résistance est augmentée à 50 Ω, comment la bande passante change-t-elle ?
Solution: Fréquence propre : \( f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-3} \times 10^{-9}}} \approx 159.15 \text{ kHz} \) Bande passante initiale \( BW_1 = \frac{R_1}{2\pi L} = \frac{10}{2\pi \times 10^{-3}} \approx 1591.5 \text{ Hz} \) Nouvelle bande passante \( BW_2 = \frac{R_2}{2\pi L} = \frac{50}{2\pi \times 10^{-3}} \approx 7957.7 \text{ Hz} \) La bande passante augmente de 5 fois, car elle est directement proportionnelle à la résistance.
Surtension (Facteur de Qualité Q)
La surtension, également appelée facteur de qualité (Q), est une mesure de la sélectivité d’un circuit résonant. Elle indique le rapport entre l’énergie stockée dans le circuit et l’énergie dissipée par cycle. Un Q élevé signifie que le circuit est très sélectif et a une faible perte d’énergie. Elle est inversement proportionnelle à la bande passante.
Le facteur de qualité (Q) peut être calculé de plusieurs manières :
\( Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 CR} = \frac{f_0}{BW} \)
Où :
- ω₀ est la fréquence propre en radians par seconde
- f₀ est la fréquence propre en Hertz
- L est l’inductance en Henrys (H)
- C est la capacité en Farads (F)
- R est la résistance en Ohms (Ω)
- BW est la bande passante en Hertz
| Facteur de Qualité (Q) | Sélectivité | Bande Passante (BW) |
|---|---|---|
| Élevé (Q >> 1) | Élevée | Étroite |
| Faible (Q ≈ 1) | Faible | Large |
La surtension peut également se manifester par une amplitude de tension ou de courant significativement plus élevée à la fréquence propre par rapport à l’amplitude de la source d’excitation. Dans un circuit série, la tension aux bornes de L ou C peut être Q fois supérieure à la tension de la source.
Applications de la Résonance
La résonance est un phénomène fondamental exploité dans de nombreuses applications :
- Radiocommunications: Les circuits résonants sont utilisés pour accorder les émetteurs et les récepteurs à une fréquence spécifique, permettant la transmission et la réception sélectives des signaux.
- Filtrage de signaux: Les filtres résonants sont utilisés pour sélectionner ou rejeter certaines fréquences dans un signal, par exemple dans les égaliseurs audio ou les filtres anti-bruit.
- Génération de signaux: Les oscillateurs utilisent la résonance pour générer des signaux périodiques stables à une fréquence précise.
- Imagerie par résonance magnétique (IRM): Utilise la résonance des noyaux atomiques dans un champ magnétique pour créer des images du corps humain.
| Application | Principe | Avantages |
|---|---|---|
| Radio Tuning | Sélection d’une fréquence spécifique | Réception claire, interférence réduite |
| Filtres | Atténuation ou amplification de certaines fréquences | Amélioration de la qualité du signal |
| Oscillateurs | Génération de signaux stables | Contrôle précis de la fréquence |
Exemple 5: Conception d’un circuit d’accord pour une radio FM
Concevez un circuit RLC série pour accorder une radio FM à une fréquence de 98 MHz. Utilisez une inductance de 1 μH. Quelle est la valeur de la capacité requise, et quel est l’impact d’une résistance de 10 Ω sur la bande passante et le facteur Q ?
Solution: Calcul de la capacité: \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \Rightarrow C = \frac{1}{(2\pi f_0)^2 L} = \frac{1}{(2\pi \times 98 \times 10^6)^2 \times 1 \times 10^{-6}} \approx 2.63 \text{ pF} \) Calcul de la bande passante: \( BW = \frac{R}{2\pi L} = \frac{10}{2\pi \times 1 \times 10^{-6}} \approx 1.59 \text{ MHz} \) Calcul du facteur Q: \( Q = \frac{f_0}{BW} = \frac{98 \times 10^6}{1.59 \times 10^6} \approx 61.64 \) Pour accorder la radio à 98 MHz, une capacité d’environ 2.63 pF est nécessaire. La bande passante est de 1.59 MHz et le facteur Q est d’environ 62.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Fréquence de Résonance | 98 MHz |
| Inductance | 1 μH |
| Capacité | 2.63 pF |
| Résistance | 10 Ω |
| Bande Passante | 1.59 MHz |
| Facteur Q | 61.64 |